Theorem Cramer-Wold.

Question

Theorem (Cramer-Wold device): The distribution of a random $n$-vector $X$ is completely determined by the set of all one-dimensional distributions of linear combinations $t^TX$, where $t$ ranges over all fixed $n$-vectors.$$$$ Proof. $Y := t^TX$ has characteristic function: $$\phi_Y(s) := E[e^{isY}] = E[e^{ist^TX}]$$ If we know the distribution of each $Y$ , we know its CF $\phi_Y(s)$. In particular, taking $s = 1$, we know $E[e^{ist^TX}]$. But this is the CF of $X = (X_1,\ldots,X_n)^T$ evaluated at $t = (t_1,\ldots,t_n)^T$ . But this determines the distribution of $X.$

My questions:

1. Se $s = 1$ então a prova perde generalidade? Por que não?
2. Minha interpretação da prova é que se a combinação linear do vetor e do vetor têm a mesma função característica, então sua distribuição é a mesma. Esta interpretação está correta? 3) O que significa 'completamente determinado' no teorema?

Answer 1

• Eu não entendo o que você quer dizer com "perder generalidade" na sua primeira pergunta. A única "generalidade" na prova que me parece ter alguma importância é que ela deve funcionar para qualquer$\ n$-vetor e para qualquer$\ n\ $, o que faz. Colocando$\ s=1\ $é apenas um passo na prova, um passo que você pode dar legitimamente, independentemente de quais sejam os valores de$\ n\ $e$\ X\ $são, por isso não impõe nenhuma restrição sobre eles.

• A vector is not the same thing as a linear combination of its entries (unless the vector, $\ X\ $ is $1$-dimensional and the linear combination is $\ 1\cdot X\ $), which must be a scalar. So neither the distribution nor characteristic function of a random vector can be the same as those of a linear combination of that random vector's entries. The distribution of a random $\ n$-vector as well as its characteristic function will be functions of $\ n\ $ variables, whereas both the distribution and the characteristic function of any particular linear combination of the random vector's entries will be functions of a just a single variable.

  O ponto chave no dispositivo Cramer-Wold é que você precisa conhecer a distribuição unidimensional não apenas de alguma combinação linear particular das entradas do vetor aleatório, mas de cada combinação linear, e isso permite que você deduza a distribuição aleatória distribuição de vetores, uma função de muitas variáveis, dessa família infinita de funções de uma única variável.