Topologicamente Equivalente

Question

É possível ter métricas topologicamente equivalentes com diferentes sequências de Cauchy? Existem exemplos reais? Ou eles geralmente produzem as mesmas sequências de Cauchy?

Answer 1

Em $\Bbb R$, a métrica $d(x,y)=|\arctan x-\arctan y|$ define a mesma topologia em $\Bbb R$como a métrica padrão. Sob$d$, a sequência dada por $x_n=n$ é Cauchy, mas é claro que não sob a métrica padrão.