Trace ideal de um módulo projetivo
Em seu artigo de 1969 "Sobre módulos projetivos de classificação finita", Wolmer Vasconcelos escreve
Deixei $M$ seja um projetivo $R$-módulo ... O traço de $M$ é definido para ser a imagem do mapa $M \otimes_R \operatorname{Hom}_R(M, R) \to R$, $m \otimes f \to f(m)$; é denotado por$\tau_R(M)$. E se$M \oplus N = F$ (grátis), é claro que $\tau_R(M)$ é o ideal de $R$ gerado pelas coordenadas de todos os elementos em $M$, para qualquer base escolhida em $F$. Segue-se que para qualquer homomorfismo$R \to S$, $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$.
Uma afirmação semelhante aparece em seu artigo de 1973 "Finiteness in projective ideals":
Lembramos a noção de traço de um módulo projetivo $E$ sobre o anel comutativo $A$. É simplesmente o ideal$J(E) = J = \Sigma f(E)$ Onde $f$ atropela $\operatorname{Hom}_A(E, A)$. Equivalentemente,$J$ é o ideal gerado pelas “coordenadas” de todos os elementos de $E$ sempre que uma decomposição $E \oplus G = F$(grátis) é fornecido. Sob a segunda interpretação, segue-se que se$h \colon A \to B$ é um homomorfismo de anel, então $J(E \otimes_A B) = h(J(E)) B$.
A primeira afirmação é fácil de verificar (embora com uma mudança de módulo grátis) como segue. E se$F = M \oplus N$ tem uma base $\{ v_i \}$, podemos considerar $F' = F \oplus R$, Onde $u$ é um gerador para $R$. Para qualquer$f \colon F \to R$, $F'$ tem uma base composta de $u$ e tudo $w_i := v_i - f(v_i)u$. Com relação a esta base,$v_i = w_i + f(v_i) u$, daí o $u$-coordenada de $v_i$ é $f(v_i)$. Então, todo homomorfismo$M \to R$ é a restrição de uma função de coordenada em $F'$.
O que não está claro para mim é o motivo da segunda afirmação de que $\tau_S(M \otimes_R S) = \tau_R(M) S$. A inclusão$\tau_R(M) S \subset \tau_S(M \otimes_R S)$ é óbvio, então deixe-me me concentrar no outro.
Pode-se escolher uma decomposição $M \oplus N = F$ (grátis), para que $M \otimes_R S \oplus N \otimes_R S = F \otimes_R S =: F_S$, que é gratuito $S$. Até adicionar um$S$ summand, também se pode supor que cada $f \colon M \otimes_R S \to S$ é a restrição de alguma função de coordenada em $F_S$. Mas as coordenadas em$F_S$dependem da escolha de uma base. Se a base for obtida de um$R$-base de $F$, a afirmação é clara. Mas$F_S$ poderia ter muitas opções de $S$-bases que não são derivadas de $R$.
Acho que estou perdendo algo bastante trivial, mas não consigo ver agora, então achei melhor perguntar aqui.
Respostas
A confusão é linguística, conforme identificada nos comentários.
Lema. Deixei$M$ seja um projetivo $R$-módulo, e suponha $M \oplus N \cong F$ é grátis com base $\mathcal B$. Para$b \in \mathcal B$, escrever $\varepsilon_b \colon F \to R$ para o elemento 'dual' tomando $b$ para $1$ e todos os outros elementos básicos para $0$. Então$\tau(M)$ é o ideal gerado por $\varepsilon_b(m)$ para $b \in \mathcal B$ e $m \in M$.
(Por abuso de notação, nós escrevemos $\varepsilon_b(m)$ para o que deve ser devidamente denotado $\varepsilon_b(m,0)$.)
Prova. Desde a$\varepsilon_b|_M$ é um homomorfismo $M \to R$, nós claramente temos $\varepsilon_b(m) \in \tau(M)$ para todos $b \in \mathcal B$ e tudo $m \in M$. Temos que mostrar que eles geram. Na definição de$\tau(M)$, podemos substituir $\operatorname{Hom}(M,R)$ de $R^{\mathcal B} = \operatorname{Hom}(F,R) \twoheadrightarrow \operatorname{Hom}(M,R)$. Os elementos podem ser escritos como$f = (f_b)_{b \in \mathcal B}$, Onde $f_b = f(b)$são constantes. Agora a ideia é que$f(m)$ só depende das coordenadas de $f$ Onde $m$ é suportado:
Deixei $f = (f_b)_{b \in \mathcal B} \in R^{\mathcal B}$ e $m = \sum_{b \in \mathcal B'} a_b b \in M$ para algum subconjunto finito $\mathcal B' \subseteq \mathcal B$. Escrever$f_{\mathcal B'}$ para a função cujo $\mathcal B'$-coordenadas concordam com $f$e cujas outras coordenadas desaparecem. Então$$f(m) = \sum_{b \in \mathcal B'} f(a_b b) = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot a_b = \sum_{b \in \mathcal B'} f_b \cdot \varepsilon_b(m),$$ assim $f(m)$ é expresso como uma combinação de $\varepsilon_b(m)$. $\square$
Corolário. Deixei$M$ seja um projetivo $R$-módulo e deixe $R \to S$ser um homomorfismo de anel. Então $$\tau\left(M \underset R\otimes S\right) = \tau(M)S.$$
Prova. Escrever$M \oplus N \cong F$ para alguns $R$-módulo $N$ e um grátis $R$-módulo $F$. Então$$\left(M \underset R\otimes S\right) \oplus \left(N \underset R\otimes S\right) \cong F \underset R\otimes S.$$ E se $F$ tem base $\mathcal B$, então os elementos $b \otimes 1$ formar uma base de $F \otimes_R S$. Além disso,$M \otimes_R S$ é gerado por elementos do formulário $m \otimes 1$. Portanto,$\tau(M \otimes_R S)$ é exatamente o ideal gerado por $\varepsilon_{b \otimes 1}(m \otimes 1)$, qual é $\tau(M)S$. $\square$