Transformação de Fourier diferenciando uma função e integrando a solução.

Question

A integral da transformada de Fourier da derivada é uma função igual à transformada de Fourier da função?

Por exemplo, tenho uma função$\theta(x)=-2\tan^{-1}(\frac{x}{c})$.

Acho bastante difícil calcular a transformada de Fourier dessa função. Então, eu estava planejando tirar a derivada da função.$$\theta'(x)=-\frac{2}{c \left(\frac{x^2}{c^2}+1\right)}$$Eu posso calcular facilmente a transformada de Fourier desta função$\theta'(p)=\sqrt{2 \pi } \left(-e^{-c | p| }\right)$. Integrando em ambos os lados:$\theta(p)=\frac{| p| \left(\sqrt{2 \pi } e^{-c | p| }\right)}{c p}$

Esta é a transformada de Fourier correta da função$\theta(x)$?

Answer 1

Não é verdade. o FT de$f'$é$-it \hat {f} (t)$. Então, para encontrar$\hat {f} (t)$você tem que apenas dividir$\hat {f'}(t)$por$-it$em vez de integrá-lo.