Transformação de séries, provando uma igualdade

Question

Um exercício pede para encontrar todos os valores de$x \in \Re$para o qual vale a seguinte igualdade:$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\alpha+n}x^n = \frac{1}{\alpha(1+x)}\left[1+\frac1{\alpha+1}\left(\frac{x}{1+x}\right)+\frac{1\cdot2}{(\alpha+1)(\alpha+2)}\left(\frac{x}{1+x}\right)^2+\dots\right]$$Onde$\alpha$é um número real claramente diferente de$0, -1, -2, \dots$Primeiro cada expressão só faz sentido se for finita, então nos restringimos ao domínio$-1/2 \le x \le 1$, onde cada série é convergente. Então percebi que se$x = 1$ou$x = -1/2$então a igualdade vale, pois segue apenas da transformação de Euler de séries convergentes (veja o segundo tipo de Transformada de Euler para detalheshttps://mathworld.wolfram.com/EulerTransform.html). Eu queria saber se essa igualdade é válida para outros valores de$x$mas não conseguiu encontrar uma resposta. Pode me ajudar?

Answer 1

A igualdade vale para$-1/2<x\leqslant 1$e$\alpha\notin\mathbb{Z}_{\leqslant 0}$, e para$x=-1/2$e$\alpha>0$.

É suficiente mostrá-lo para$\alpha>0$(uma vez que ambos os lados satisfazem$f(x,\alpha)+xf(x,\alpha+1)=1/\alpha$, o que permite mostrá-lo para$\alpha>-n$usando indução em$n$) e$-1/2<x<1$(então a convergência nos valores de contorno de$x$ quando vale , e o teorema de Abel , faça o resto). Agora\begin{align*} \sum_{n=0}^\infty\frac{(-x)^n}{n+\alpha} &=\sum_{n=0}^\infty(-x)^n\int_0^1 y^{n+\alpha-1}\,dy =\int_0^1\frac{y^{\alpha-1}\,dy}{1+xy} \\&=\frac{1}{1+x}\int_0^1\frac{(1-z)^{\alpha-1}\,dz}{1-xz/(1+x)}\qquad\color{gray}{[y=1-z]} \\&=\frac{1}{1+x}\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{x}{1+x}\right)^n\int_0^1 z^n(1-z)^{\alpha-1}\,dz, \end{align*}e a integral é$\mathrm{B}(n+1,\alpha)=\displaystyle\frac{\Gamma(n+1)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(n+\alpha+1)}=\frac{n!}{\alpha(\alpha+1)\cdots(\alpha+n)}$.