Transformada de Laplace: integral vs pólos e zeros
Se a transformação de Laplace for expressa como:
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt $$
com:
$$s = \sigma + j\omega$$
e $h(t)$ uma resposta de impulso expressa como:
$$h(t) = Ae^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t+\phi) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$$ ($A=1$ e $\phi = 0$ para simplificação, $h(t)=0$ E se $t<0$)
Então, cada linha vertical (paralela ao eixo imaginário) no $s$ plano corresponde à transformada de Fourier de $f(t) = h(t)e^{-\sigma t}$ para um fixo $\sigma$.
Para $\sigma = -\sigma_0$, o exponencial decadente de $h(t)$ é cancelado e obtemos a transformada de Fourier * de $h(t) = \cos(\omega_0t)$, isto é: diracs em $\omega_0$ e $-\omega_0$ (não é preciso, consulte (*) logo abaixo), portanto, dois pólos: $-\sigma_0 + j\omega_0$ e $-\sigma_0 - j\omega_0$ como na imagem a seguir (apenas ilustração, postes não localizados corretamente):
Na verdade, podemos entender que:
(*) Por favor, observe que o seguinte não é preciso: uma vez que $h(t) = 0$ E se $t<0$, devemos usar a transformada de Laplace unilateral, não bilateral! Portanto, aqui obteríamos a transformada de Fourier unilateral de uma sinusóide, não a bilateral (com diracs apenas)! Para ver o que seria, consulte o link fornecido no final da resposta aceita
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-j\omega t}dt $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2}e^{-j\omega t}dt$$ $$= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0-\omega)t}-e^{-j(\omega_0+\omega)t}dt$$
E se $\omega = \omega_0$ ou $-\omega_0$, então a integral explodiria devido ao $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^0dt $$ membro, daí os pólos no plano s.
Assim, como mostrado no ch.32, p.24 do The Scientist and Engineer's Guide to DSP (veja as figuras abaixo), com a transformada de Laplace nós multiplicamos$h(t)$ com $e^{-st}$ = $e^{-\sigma}e^{-j\omega}$, isto é, nós multiplicamos $h(t)$ com sinusóides que são:
- (a) Decadência exponencial ($\sigma$ > 0)
- (b) Estável ($\sigma = 0$)
- (c) Crescimento exponencialmente mais lento do que nossa resposta de impulso decai ($ -\sigma_0 < \sigma < 0$)
- (d) Crescendo exponencialmente, compensando nossa queda de resposta ao impulso ($\sigma = -\sigma_0$): OK, conforme estudado acima.
- (e) Crescimento exponencialmente mais rápido ($\sigma < - \sigma_0$ e $\sigma < 0$)
(as letras correspondem a pares de pontos no plano s mostrado nas figuras abaixo, sempre em um $\omega$ ou $-\omega$ valor)
Eu entendo o caso d: como cancelamos a parte exponencial, obtemos apenas a transformada de Fourier (unilateral !!) de uma senoide. Isto é: infinito em$\omega_0$ e $-\omega_0$ daí os pólos (embora eu não saiba por que temos uma função contínua de ômega com valores infinitos em $\omega_0$ e $-\omega_0$em vez de diracs como na transformada de Fourier original de uma sinusóide -> Como usamos Laplace unilateral, portanto, Fourier, veja o final da resposta aceita! )
Os casos a, c e e são intuitivos. No caso de a, nós multiplicamos$h(t)$com um exponencial decadente. A integral será algum valor complexo finito (para todos os valores de$\sigma > 0$. No caso c, nós multiplicamos por um crescimento exponencial mais lento do que o exponencial decadente de$h(t)$, portanto, algum valor complexo finito para o integral (para todos os valores de $-\sigma_0 < \sigma < 0$) No caso e, multiplicamos o$h(t)$ por um exponencial que cresce mais rápido do que o exponencial de $h(t)$ decai: portanto, integral não converge (para todos os valores de $\sigma < -\sigma_0$)
Mas, para o caso b, não consigo ter a intuição de por que a integral seria zero, conforme mostrado com a área sob a curva (vermelho nas figuras acima). Em outras palavras, eu entendo a linha vertical no plano s em$\sigma = -\sigma_0$, é a transformada de Fourier de $h(t)e^{-\sigma_0 t}$ então é transformada de Fourier de $h(t)$uma vez que seu componente exponencial é removido, portanto, 2 pólos devido à sinusóide. Pegamos pólos sempre que$e^{-st}$é idêntico (compensa) à resposta ao impulso. Mas o que causaria a transformação de Fourier de$h(t)e^{-\sigma t}$ ser 0 em algum $\omega$? Para qual$h(t)$ e como isso afetaria a área sob a curva (integral)?
Respostas
A definição da transformada de Laplace que você está usando é chamada de transformada de Laplace bilateral , que é menos comum do que a transformada de Laplace unilateral . A diferença entre os dois é que o primeiro tem um limite de integração inferior de$-\infty$ enquanto o segundo tem um limite inferior de $0$. Esta diferença torna-se irrelevante se o sinal em consideração for zero para$t<0$. É o caso do exemplo do livro. Observe, no entanto, que a transformada de Laplace bilateral da resposta ao impulso$h(t)$ que você definiu em sua pergunta não existe para nenhum valor de $s$. Existe se você definir$h(t)$ a zero para $t<0$ (ou seja, multiplique-o por um passo unitário $u(t)$)
Os números no livro referem-se a um filtro de entalhe causal . Observe que a região de convergência (ROC) da transformada de Laplace dessa resposta ao impulso está à direita dos pólos. Consequentemente, a transformada de Laplace avaliada em qualquer valor fixo de$s$à direita dos pólos será finito, simplesmente porque estamos dentro do ROC, ou seja, a integral converge. Se escolhermos$s$exatamente no zero do filtro então avaliamos a resposta do filtro na frequência de entalhe, que deve ser zero, simplesmente pela definição de "frequência de entalhe". A resposta do filtro a um sinal nessa frequência deve ser zero. Finalmente, se escolhermos o valor de$s$ exatamente no ou à esquerda dos pólos do filtro, estamos fora do ROC, caso em que a integral não converge.
A postagem original foi atualizada para adicionar informações de por que a integral diverge ou tem algum valor complexo finito.
A Figura 32.5 (pergunta original) não pode ser entendida (especialmente "b. Cancelamento exato") se considerarmos:
$$ h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos{\omega_0t} $$
($h(t) = 0$ para $t<0$)
$h(t)$na fig. 32-5 não é uma senoide de decadência exponencial simples: se fosse, a integral poderia de fato não ser igual a 0 para qualquer valor de s, como levantado pela questão original.
Em vez disso, conforme apontado por Matt L., $h(t)$é a resposta ao impulso de um filtro Notch. Como isso ajuda a entender por que a integral iria para 0 para alguns$s$? Bem, essa resposta ao impulso tem a peculiaridade de ter um dirac (e também alguma combinação de sinusóides em decomposição exponencial)! E se você prestar atenção na fig.32-5, este dirac é realmente mostrado na resposta ao impulso (perdi isso pensando que era o eixo das ordenadas ...), veja a figura abaixo:
E é a área sob este dirac que irá compensar a área sob os componentes das sinusóides em decomposição exponencial de $h(t)$ para os valores apropriados de $s$, daí os zeros!
Para uma explicação mais detalhada do cálculo envolvido nisso, bem como do significado físico de um dirac em uma resposta de impulso, consulte as respostas dadas a esta pergunta .
Outra questão era a seguinte:
(embora eu não saiba por que temos uma função contínua de ômega com valores infinitos em ω0 e −ω0 em vez de diracs como na transformada de Fourier original de uma senoide).
Acho que isso se deve ao fato de haver uma transformada de Laplace unilateral em vez de bilateral. Na verdade, veja neste exemplo a transformada de Fourier unilateral de ondas senoidais. É como se multiplicássemos a onda senoidal com uma função de passo unitário. Assim, a transformada de Fourier unilateral de uma onda senoidal é a transformada de Fourier de uma onda senoidal convoluída pela transformada de Fourier de uma função de passo de unidade (ver detalhes no link fornecido). É por isso que em uma determinada fatia vertical (para um fixo$\sigma$) do $s$ avião, não teremos a transformada de Fourier usual, mas a unilateral, que é um pouco diferente.