Triângulo maior que (probabilidade)

Question

Esta é uma continuação da minha pergunta anterior. Mas um problema diferente. E este deve ter uma resposta mais interessante. Eu realmente não sei como abordar este problema, no entanto, chegar a uma solução, então, novamente, a ajuda é apreciada.

Pergunta:

Você tem um círculo com raio$R$. Se três pontos são escolhidos aleatoriamente dentro deste círculo. Qual é a probabilidade de que os três pontos formem um triângulo com área maior que$\displaystyle \frac{R^2}{5}$?

Edit: Alguém está tentando ou talvez tenha encontrado uma abordagem que possa funcionar? Existe algum problema semelhante que você já viu antes que possa funcionar como um guia para resolver este? O que você considera como sendo as dificuldades? Eu literalmente não tenho nenhuma ideia de por onde começar.

Answer 1

Esta não é uma resposta, mas apenas uma simulação. consigo o valor aproximado

$$P(A\geq \frac{1}{5}) \approx 0.45$$

Aqui está o meu código Sage, se alguém quiser verificá-lo. Concorda com o valor médio de mathworld

def randPt():
    r = random()**0.5 #sqrt to make it uniform
    a = random()*2*float(pi)
    return (r*cos(a), r*sin(a))

def simuTriArea():
    a,b,c = [randPt() for _ in range(3)]
    return 0.5*abs(a[0]*b[1] + b[0]*c[1] + c[0]*a[1] - b[0]*a[1] - c[0]*b[1] - a[0]*c[1])

#points([randPt() for _ in range(1000)]).show(aspect_ratio=1)
simuN = 100000
triAreas = [simuTriArea() for _ in range(simuN)]
print ("simulated P(A>0.2): %f" % (sum(1 for a in triAreas if a>0.2) / float(simuN),) )
print ("mean A: %f" %mean(triAreas))
graph = Graphics()
graph += histogram(triAreas, density=True, bins=50)
maxArea = float(3*3**0.5 / 4)
#graph += plot(???, xmin=0, xmax=maxArea)
graph.show()