Troca $L^p$ norma e integral

Question

É verdade que $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}dt$$ Onde $T\leq{\infty}$?

Posso provar uma desigualdade semelhante no ase $T<\infty$, usando a desigualdade de Holder e o teorema de Fubini para obter $$\left\|{\int_0^T}f(x,t)dt\right\|_{L^p(\mathbb{R}^n)}\leq{T^{1/p'}}\left(\int_0^T\|f(\cdot,t)\|_{L^p}^pdt\right)^{1/p}$$

mas não consigo ver como alcançar a desigualdade final a partir daqui, e não consigo ver se isso seria verdadeiro para o caso $T=\infty$.

Answer 1

Uma maneira elegante de provar a desigualdade $\|\int f d\mu\|\le \int \|f\| d\mu$ para funções com valores em um espaço de Banach $(X,\|\cdot\|)$ é a fórmula norma $\|x\|=\sup\{ |\phi(x)|: \phi\in X^*, \|\phi\|^*\le 1\}$(que é uma consequência de Hahn-Banach). Para$\phi\in X^*$ com $\|\phi\|^*\le 1$ você pega $$ \left|\phi(\int fd\mu)\right|=\left|\int \phi(f)d\mu\right|\le \int \|f\|d\mu$$ onde a última desigualdade usa apenas a monotonicidade da integral.