Um conjunto é um conceito?
Siga em frente com esta pergunta.
Uma vez que os conjuntos têm uma definição intencional e extensional, meu pensamento é sim, eles são conceitos. Mas talvez haja uma razão técnica para que os conjuntos não sejam conceitos?
Respostas
Resposta curta
De acordo com a entrada 'Concepts' da Stanford Encyclopedia of Philosophy :
Os conceitos são os blocos de construção dos pensamentos. Conseqüentemente, eles são cruciais para processos psicológicos como categorização, inferência, memória, aprendizagem e tomada de decisão. Isso é relativamente incontroverso. Mas a natureza dos conceitos - o tipo de coisas que os conceitos são - e as restrições que governam uma teoria de conceitos têm sido objeto de muito debate ...
Assim, Conifold pergunta qual é a sua definição de 'conceito', porque existem leituras muito diferentes de vários filósofos e linguistas. Na maioria das leituras padrão, um 'conjunto' é um conceito básico, mas os conceitos tendem a vir em duas formas, uma intuitiva ou ingênua e a outra formal , rigorosa e geralmente axiomática. Assim, enquanto hoje a palavra 'conjunto' geralmente é um conceito rigorosamente definido, outras palavras em linguagem natural como 'coleção' podem ser usadas para se referir ao conceito intuitivo para evitar confusão com a noção intuitiva. Por exemplo, ambos os sistemas axiomáticos ZF e NBG definem 'conjunto' como um tipo de coleção e o fazem de maneira diferente.
Resposta longa
O que você parece estar lutando neste e no post anterior é o que exatamente são um conjunto e um conceito, e como eles se relacionam. Então, vamos desenvolver algumas idéias básicas. Em primeiro lugar, temos uma noção intuitiva de 'coleção', algo que é apenas uma coleção de coisas. Na filosofia moderna, o estudo da presunção metafísica de 'coleções' é chamado de mereologia . Quando filósofos como Frege, Cantor, Dedekind e Peano começaram a examinar os fundamentos da matemática , perceberam que algo como a aritmética era intuitivo e não definido com rigor. Daí a necessidade de criar e examinar axiomas lógicos da aritmética . A questão do que era uma 'coleção' foi abalada pela descoberta de Russell de seu infame paradoxo , que na notação do construtor de conjuntos é uma proposição bastante simples:
R: = {x: x∉x} -> (x∈x <-> x∉x)
O que basicamente diz que um conjunto que é membro de si mesmo não deve ser membro de si mesmo, portanto, paradoxo.
Assim, imediatamente, os pressupostos ingênuos da teoria dos conjuntos precisaram ser explorados e isso acabou desencadeando duas estratégias que são conhecidas como ZF e NBG na linguagem moderna. Uma vez iniciado esse processo, a definição de 'conjunto' deixou de ser intuitivamente uma 'coleção' (o que quer que isso signifique) para ter definições rigorosas de 'conjunto' e 'classe'. Do Topoi de Goldblatt :
[NBG tem uma [...] distinção conceitual poderosa entre conjuntos e classes . Todas as entidades referidas no NBG são consideradas classes, que correspondem à nossa noção intuitiva de coleções de objetos. A palavra "conjunto" é reservada para aquelas classes que são membros de outras classes. (p.10)
e:
[Na ZF ... t] aqui existe apenas um tipo de entidade, o conjunto. Todos os conjuntos são construídos a partir de alguns conjuntos simples (na verdade, pode-se começar com Ø) ... (p.11)
Então, você tem duas questões em jogo, uma é a noção de tomar uma palavra que expressa um conceito intuitivo, ou seja, SET_nl (conjunto, linguagem natural) e, em seguida, usar essa ideia intuitiva com restrições para formar um conceito formal geralmente definido por necessidade e suficiência , ou seja, SET_zf (Zermelo-Fraenkel) e SET_nbg (von Neumann-Bernays-Goedel). Esta é uma característica comum na linguagem quando a linguagem comum é transformada em linguagem técnica usando alguma forma de lógica formal, como a adesão às Leis do Pensamento .
Ah, e a intenção e a extensão na teoria dos conjuntos são legais e simples. a definição extensional é simplesmente enumerar os membros, isto é, D: = {cat, 2, para cima, 'verdade'}, onde a definição intensional está especificando propriedades e é referida como notação de construtor de conjunto . Ambas as definições intensional e extensional são métodos formais, enquanto a teoria do protótipo em linguística pretende abordar a definição intuitiva. Na filosofia da linguagem, há uma divisão entre aqueles que defendem a semântica condicional de verdade baseada na semântica lexical e leituras mais amplas da semântica, como a semântica cognitiva , que é orientada para a pragmática .
Portanto, para revisar, os conceitos vêm em dois sabores gerais, os das linguagens naturais e formais, e os conjuntos podem se referir à noção intuitiva de uma coleção ou ser rigorosamente definidos por um sistema formalizado . Depois de envolver sua mente em torno dessas duas dicotomias, a maneira como o cérebro constrói as categorias matemáticas deve ficar um pouco mais clara.