Um modelo clássico de diamagnetismo

Question

Estou tentando derivar um modelo clássico para descrever o diamagnetismo, gostaria de entender se é possível entender as propriedades básicas dos materiais diamagnéticos com ele, ou seja:

'' Um material diamagnético colocado em um campo magnético externo B _ext desenvolve um momento dipolar magnético direcionado em direção oposta a B _ext . Se o campo não for uniforme, o material diamagnético é repelido de uma região de maior campo magnético para uma região de menor campo. ''

ou tanta informação quanto possível.

Comecei a considerar apenas o movimento orbital do elétron no átomo. Considere um elétron em órbita com velocidade angular, ω. Seu momento magnético seria

$\vec{\mu} = \frac{-e}{2m_e}\vec{L}_{orb}$

Sujeito a um campo H , com indução,$\mathbf{B} = \mu_0\mathbf{H}$, este momento magnético experimentará um torque

$\vec{\tau} = \frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\mu} \times \vec{B} = \mu_0 \frac{-e}{2m_e} \vec{L} \times \vec{H} = \mu_0 \frac{e}{2m_e} \vec{H}\times\vec{L} = \vec{\omega} \times \vec{L}$

agora parece, desde a última relação, que este momento magnético está em precessão. Deve ser este momento magnético para causar os efeitos do diamagnetismo, mas não sei como tratar este momento magnético precedente e mostrar que é antiparalelo ao campo magnético externo e sua repulsão a ele.

Answer 1

O hamiltoniano $H,$ para um sistema de partículas carregadas interagindo por meio de uma energia potencial $U$ é: $$ H\left(\boldsymbol{r}_{k}, \boldsymbol{p}_{k}\right)=\sum_{j=1}^{N} \frac{\boldsymbol{p}_{j}^{2}}{2 m_{j}}+U\left(\boldsymbol{r}_{k}\right) $$ Partículas definidas com, massa $m_{j},$ Vetor de posição $r_{j},$ e momento $p_{j}$. Sob campo magnético externo com potencial vetorial$A(r)$ muda o hamiltoniano para: $$ H\left(\boldsymbol{r}_{k}, \boldsymbol{p}_{k}\right)=\sum_{j=1}^{N} \frac{\left[\boldsymbol{p}_{j}-\frac{e_{j}}{c} \boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{r}_{j}\right)\right]^{2}}{2 m_{j}}+U\left(\boldsymbol{r}_{k}\right) $$

Onde $e_{j}$ são as cargas das massas $m_{j}$. Usando a equação acima, a mecânica estatística prevê que a energia - a média térmica do hamiltoniano - não depende do campo externo. Portanto, o sistema não exibe uma resposta paramagnética nem diamagnética.

O resultado acima é conhecido como teorema de Bohr-van Leeuwen, onde afirma que não há magnetismo clássico. Além disso, os fundamentos do magnetismo dependem da abordagem relativística onde as densidades de carga são avaliadas por diferentes observadores, respectivamente. Basicamente, a mecânica estatística clássica e o eletromagnetismo não podem explicar o diamagnetismo.

Como fonte: Feynman lectures10 (Vol. 2, Sec. 34-6) e Understanding dia- and para-magnetism por Andreas Wacker