Um problema em subespaços

Question

Eu estava estudando para alguns quals e lembro que tive esse problema no ano passado e não consegui chegar a lugar nenhum. Mesmo agora estou meio perplexo. Eu queria saber se vocês têm alguma ideia. Aqui está o problema:

Deixei $ V $ seja um espaço vetorial e deixe $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $ser um número inteiro. Deixei$ \{V_i\} $ ser uma coleção de $ n $subespaços dimensionais de $ V $ com a propriedade que $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ para cada $ i\neq j $. Mostre que pelo menos um dos seguintes se mantém:

(i) Tudo $ V_i $ compartilhe um comum $ (n-1) $subespaço dimensional.

(ii) Há um $ (n+1) $subespaço dimensional de $ V $ contendo tudo $ V_i $.

Answer 1

Primeiro, vamos mostrar o seguinte:

Para qualquer $i,j,k$, se tiver-mos $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ então $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Observe que $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$, então este é nosso candidato único para uma $n+1$-superespaço dimensional.

Agora se $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$, sabemos que existe um vetor $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ que é linearmente independente de $V_j$. Mas desde$V_i\cap V_j$ é um $n-1$ subespaço dimensional do $n$espaço dimensional $V_i$, nós entendemos isso $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

Agora, tudo o que temos a argumentar é que se $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ para alguns $i_0$, então para qualquer $i$ de tal modo que $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$, ainda devemos ter $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Isso segue desde $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. De outra forma,$V_{i_0}$ conteria o $n-1$ subespaço dimensional $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ e assim, contando as dimensões, teríamos $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ Portanto, aplicando o anterior, temos $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

Em suma, estabelecemos o desejado.