uma desigualdade sobre inteiros

Question

Deixei $x$, $y$ e $z$ser inteiros diferentes de 1.
Prove que se$x+y\leq xy$ e $y+z \leq yz$ então $x+z\leq xz$
Minha tentativa:
$x+2y+z\leq (x+z)y$ $~~$assim $2y \leq (x+z)(y-1)$
e estou empilhado aqui.
Eu preciso apenas de alguma dica.
Obrigado.

Answer 1

Nós temos $$\left\{\begin{aligned} & x+y \leqslant xy \\& y+z \leqslant yz \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\begin{aligned} & (x-1)(y-1) \geqslant 1\\& (y-1)(z-1) \geqslant 1\end{aligned}\right. \Rightarrow (x-1)(z-1)(y-1)^2 \geqslant 1 > 0.$$ Portanto $$ (x-1)(z-1) > 0 $$ Mas $x,\,y,\,z$ são inteiros, então $$(x-1)(z-1) \geqslant 1 \Rightarrow x+z \leqslant xz.$$ Feito.