Uma identidade para o Lambert $W$ função

Question

Expressando o integral em Uma identidade integral em termos de resíduos, chegamos à seguinte suposta identidade:$$\sum_{k=-\infty}^\infty\frac1{1 + W_k(x)}=\frac12$$ para todos $x\in(-1/e,0)$, Onde $W_k$ é o $k$o ramo do Lambert$W$função .

Como isso pode ser provado?

Answer 1

Essa identidade agora está estabelecida, uma vez que uma identidade integral citada na postagem acima está agora comprovada.