Uma lição de casa sobre continuidade e limite

Question

Eu realmente não sei como fazer um bom título para uma pergunta do dever de casa.

Meu problema é o problema 29, seção 1.1, capítulo 1 de Burden & Faires 'Numerical Analysis (9º) . Esta é uma cópia de trabalho em PDF .

Deixei $ f \in C [a, b]$, $ p \in (a, b) $ e $ f(p) \neq 0 $.

Mostre que um $ \delta > 0 $ existir com $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$, com $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Tenho o manual de soluções da 8ª edição, que é o seguinte:

$ f $ é contínuo em $ p $e $ f(p) \neq 0 $, existe $ \delta > 0 $ com:

$$ |f(x) - f(p)| < \dfrac{|f(p)|}{2} \tag{1}\label{1} $$

para $ |x - p| < \delta $ e $ a < x < b $. Nós restringimos $ \delta $ de modo a $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $.

Estou lutando para entender a parte restrita e a desigualdade$ \ref{1} $.

1. Eu pensei que nós temos que provar

   Existe $ \delta $ de modo que satisfaça:

   1. $ [p - \delta, p + \delta] \subset [a, b] $e
   2. $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in [p - \delta, p + \delta]$

   Como a solução pode declarar abertamente que 1. é verdadeiro?

2. Como posso inventar $ \dfrac{f(p)}{2} $?

   Eu entendo que eles estão usando a definição de limite (fornecida no livro):

   Uma função tem o limite $ L $ em $ x_0 $ se, dado algum $ \varepsilon > 0 $, existe um verdadeiro $ \delta > 0 $ de tal modo que:

   $$ |f(x) - L| < \varepsilon \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $$

   Mas por que eles escolhem $ \varepsilon = \dfrac{|f(p)|}{2}$? Do resto da solução, acho que qualquer$ \varepsilon < |f(p)| $vai fazer isso. Este é o resto:

   $$ f(p) - \varepsilon < f(x) < f(p) + \varepsilon $$

   1. E se $ f(p) < 0 $, então $ f(x) < f(p) + |f(p)| = 0 $
   2. E se $ f(p) > 0 $, então $ f(x) > f(p) - |f(p)| = 0 $

   Em ambos os casos, $ f(x) \neq 0 \, \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta) $

Obrigado por me ajudar.

Answer 1

Você não precisa provar isso $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$ uma vez que existem apenas duas opções:

(1) $[p-\delta,p+\delta]\subset [a,b]$, então terminamos.

(2) $[p-\delta,p+\delta]$ não está em $[a,b]$. Então, uma vez que a propriedade vale para todos$x\in[p-\delta,p+\delta]$, certamente vale para qualquer $x\in [p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ Onde $0<\delta_{1}<\delta$. Escolhendo$\delta_{1}$ de modo a $[p-\delta_{1},p+\delta_{1}]$ pertence a $[a,b]$ torna a afirmação verdadeira.

(Uma escolha explícita deste $\delta_{1}$, em caso $[p-\delta,p+\delta]$ não está em $[a,b]$, é $\delta_{1}=\min\{\frac{b-p}{2},\frac{p-a}{2}\}$)

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$\dfrac{|f(p)|}{2}$ é a metade da distância entre $f(p)$ e $0$. É um bom truque obter uma medida de distância entre dois objetos menor do que a distância exata entre eles. Você pode escolher qualquer$\varepsilon<|f(p)|$ como você diz, mas é "desnecessariamente" preciso.

Por desnecessário, quero dizer algo como:

Suponha que desejamos provar que você e eu não somos a mesma pessoa, nós dois sabemos disso, já que (para fins de argumentação) estamos a 500 metros de distância: Então eu digo que "Porque há pelo menos 250 metros entre nós, portanto, não somos a mesma pessoa". Você diz: "Estamos separados por 0,0000000001 milímetros, portanto não somos a mesma pessoa".

Ambos estamos corretos, mas neste argumento, assim como na questão, é importante apenas que exista uma distância diferente de zero entre nós ($f(p)$ e $0$ na questão) e não que distância mínima precisa existir para tornar isso verdade.