Uma pergunta sobre funcionais e espaço dual

Question

Eu tenho uma pergunta que estou tendo problemas para provar

E se $f_1, f_2 ,..., f_n$ são funcionais linearmente independentes em um $n$espaço vetorial dimensional $V$ para seu campo escalar $F$ sempre existe uma base $x_1, x_2,..., x_n$ de V tal que $$f_i(x_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1 \qquad i=j \\ 0 \qquad i \ne j \end{cases}$$

Eu sei que deveria colocar meu trabalho aqui, mas não sei como provar. É um problema de exame que tenho em dois dias e eu realmente gostaria de alguma ajuda

Answer 1

Algumas etapas para chegar ao resultado:

• Provar que $f_1,\dots,f_n$ é uma base para $V^*$, o espaço de todas as funções lineares de $V$ para $\mathbf F$.
• Para cada $v \in V$ definir $\operatorname{ev}(v) : V^* \to \mathbf F$ de $\operatorname{ev}(v)(\phi) = \phi(v)$, e provar isso $\operatorname{ev}(v) \in V^{**}$, Onde $V^{**}$ é o espaço de todas as funções lineares de $V^*$ para $\mathbf F$.
• Prove que se $v \in V \setminus \{0_V\}$ então existe $\phi \in V^*$ de tal modo que $\phi(v) \neq 0$. Conclua isto$\operatorname{ev} : V \to V^{**}$ é injetiva e, então, conclua que qualquer $\varphi \in V^{**}$ é $\operatorname{ev}(v_\varphi)$ para alguns $v_\varphi \in V$.
• E se $\varphi_1,\dots,\varphi_n \in V^{**}$ é a base dupla para $f_1,\dots,f_n$, então para cada $i$ entre $1$ e $n$ deixei $x_i \in V$ de tal modo que $\varphi_i = \operatorname{ev}(x_i)$, e provar isso $x_1,\dots,x_n$ é a base desejada para $V$.

Answer 2

O kernel de cada $f_i$ tem dimensão $n-1$. Qual é a dimensão mínima de$$\bigcap_{i \neq j} \operatorname{ker}(f_i) \text{ ? }$$

Answer 3

$\textbf{Hint:}$ Desde a $f_{1}, \ldots, f_{n}$ são linearmente independentes e $V^{*}$ tem dimensão $n$, eles formam uma base para $V^{*}$. Agora deixe$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ dentro $V^{**}$ ser a base dupla de $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Para qualquer$v \in V$, podemos considerar a "avaliação em $v$"funcional linear: \ begin {equation *} \ begin {split} \ text {ev} _ {v}: & \ hspace {0.1cm} V ^ {*} \ rightarrow K \\ & \ varphi \ mapsto \ varphi ( v). \ end {split} \ end {equation *} O mapa linear que associa cada$v \in V$ para $\text{ev}_{v}$ é um isomorfismo entre $V$ e $V^{**}$. Em particular,$\Lambda_{1}, \ldots, \Lambda_{n}$ pertencem à imagem deste mapa linear, então ...

Answer 4

Deixei $y_1,y_2,\cdots,y_n$ ser uma base de $X$. Então$A=[f_i(y_j)]$deve ser invertível. Se este não fosse o caso, então existiriam escalares$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ que não são todos zero, tais que $$ [f_i(y_j)]\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array}\right] = 0. $$ Mas isso implicaria que $\alpha_1 f_1 + \cdots + \alpha_n f_n$ desaparece na base $\{ y_1,y_2,\cdots,y_n\}$ e, portanto, deve ser o $0$funcional, o que é uma contradição. Então porque$A$ é invertível, há uma combinação linear $F$ do $f_i$ de tal modo que $F(x_j)=\delta_{j,k}$. E isso é verdade para todos os$k=1,2,\cdots,n$.