Uma propriedade de função contínua

Question

Deixei $f(x)$ ser uma função contínua em $\mathbb{R}$. Deixei$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ ser uma sequência de números reais de forma que $a_{n}\leq a_{n+1}$ para todos $n\geq 1$.

Problema : podemos encontrar um $\alpha>0$ tal que :

para todos $n\geq 1$ existe $b_{n}\in(a_{n},a_{n+1})$ com a propriedade $$\alpha\; f(b_{n}) (b_{n}-a_{n})\leq f(a_{n})$$

Meu pensamento: se $f$ está diminuindo em $\mathbb{R}$ então nós apenas pegamos $\alpha=1$, mas que tal um caso geral onde $f$ aumentando em alguns intervalos e diminuindo em outros?

Editado*

Adicionar: De acordo com as duas primeiras respostas abaixo, isso não poderia ser verdade em geral. Mas e se$f(x)>0$ para todos $x\in\mathbb{R}$.

Answer 1

Não é verdade. Deixei$f(x)=\sin (\pi x)$ e $a_n=n$. Então$f(a_n) =0$ e $\alpha f(b_n) (b_n-a_n) >0$ para todos $b_n \in (a_n,a_{n+1})$ E se $n$ é mesmo.

Resposta para a pergunta revisada. O resultado é verdadeiro neste caso. Pegue qualquer$\alpha>0$. $f(a_n) >0$ e $\alpha f(x) (x-a_n) \to 0$ Como $x$ diminui para $a_n$. Portanto existe$b_n \in (a_n,a_{n+1})$ de modo que a desigualdade se mantenha.

Answer 2

Não.

Deixei $a_n=0$ para todos $n$. Nós temos isso$b_n=0\implies b_n-a_n=0$. Então, LHS é sempre$0$. Toma$f(x)=-1$função constante. Nós temos: $$0 \leq -1$$

Contradição.