Uma questão combinando integral generarizada e limites

Question

Depois de resumir alguns exemplos, indico um palpite:

$f(x)>0$ é uma função contínua em $[0, +\infty)$, $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}$ converge, então $\lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^{\lambda}f(x)\mathrm{d}x=+\infty$.

Acredito que esteja correto, mas não tenho ideia de como provar. Muito obrigado se você puder fornecer uma prova válida ou algumas dicas.

Answer 1

Deixei $\lambda >0$. Então, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

\begin{align} \lambda &= \int_0^\lambda 1 dx = \int_0^\lambda \sqrt{f(x)}\frac{1}{\sqrt {f(x)}} dx \\ &\le \sqrt{ \int_0^\lambda f(x) dx} \sqrt{\int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx}\\ \Rightarrow &\lambda ^2 \le \int_0^\lambda f(x) dx \int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx \end{align} portanto

$$\tag{1} \frac{1}{\lambda} \int_0^\lambda f(x) dx \ge \lambda \left( \int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx\right)^{-1}.$$

Desde a

$$\int_0^\infty \frac{1}{f(x)} dx$$converge, ele converge para algum número positivo. Portanto, o RHS de (1) vai para o infinito conforme$\lambda \to +\infty$.