Uma razão simples que $\text{Tor}(\mathbb{C}^{*}) \neq S^1.$

Question

Deixei $\mathbb{C}^{*}$ denotam o grupo de números complexos diferentes de zero sob multiplicação, e $S^{1} \subset \mathbb{C}^{*}$o subgrupo de números complexos de comprimento um. Elementos de torção de$\mathbb{C}^{*}$ são chamados de raízes da unidade.

Mostra isso $\text{Tor}(\mathbb{C}^{*}) \subset S^1.$ Agora dê uma razão simples para que $\text{Tor}(\mathbb{C}^{*}) \neq S^1.$

Minha pergunta é:

1- Eu sei daqui subgrupo de torção de$\mathbb{C}^\times$ que os elementos de torção são as raízes da unidade, mas não sei como provar que $\text{Tor}(\mathbb{C}^{*}) \subset S^1.$ Alguém poderia me ajudar a escrever uma prova rigorosa disso, por favor?

2- Qual é a razão simples de que $\text{Tor}(\mathbb{C}^{*}) \neq S^1$?

EDIT: Minha definição de$S^{1}$ é $\{ z \in \mathbb{C^{*}\ :\ |z|=1 }\}$

Answer 1

Por um ponto $z=re^{i\theta}$ com $r>0$ e $\theta\in \Bbb R$ é o elemento de torção se e somente se $z^n=1$ para alguns $n\geq 1$. Em particular,$z$ Este elemento de torção implica $|z|^n=|z^n|=1$, de modo a $r=|z|=1$. Portanto,$z=re^{i\theta}$ é torção se e somente se $z=e^{i\theta}$ para alguns $\theta\in \Bbb R$ com $z^n=e^{in\theta}=1$. Agora, nós sabemos que$e^{i\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=1\iff\cos(n\theta)=1$ e $\sin(n\theta)=0\iff \theta=\frac{2m\pi}{n}$ para alguns $m\in \Bbb Z$.

Combinando tudo isso, um elemento diferente de zero $z$ é torção se e somente se $z=e^{i\frac{2m\pi}{n}}$ para alguns $n\in \Bbb N$ com $m\in \Bbb Z$.

Answer 2

Esta é uma maneira algebricamente concisa de responder às suas perguntas:

1. Em geral, se $f \colon G \to G'$é um morfismo de grupos abelianos , ele deve mapear o subgrupo de torção de origem para o subgrupo de torção de destino, em outras palavras$f[\mathrm{T}(G)] \leqslant \mathrm{T}(G')$. Em seu caso particular, o mapa de valor absoluto$z \mapsto |z|$ implementa um morfismo entre os grupos multiplicativos $\left(\mathbb{C}^{\times}, \cdot\right)$ e $\left(\mathbb{R}^{\times}_{+}, \cdot\right)$, o que significa que deve mapear $\mathrm{T}\left(\mathbb{C}^{\times}\right)$ no subgrupo de torção de $(0, \infty)$. No entanto, este último grupo é totalmente ordenado (pela ordem padrão) e, portanto, tem torção trivial. Isso significa que$\mathrm{T}\left(\mathbb{C}^{\times}\right) \subseteq |\bullet|^{-1}[\{1\}]=\mathbb{U}$ (minha notação para o grupo de círculo) e, portanto, que $\mathrm{T}\left(\mathbb{C}^{\times}\right)=\mathrm{T}\left(\mathbb{U}\right)$.
2. Como um grupo abeliano (mesmo como um grupo topológico), o círculo unitário $\mathbb{U}$ é isomorfo ao quociente $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ do grupo aditivo $(\mathbb{R}, +)$ (this is intimately related to the complex exponential). It is very easy to show that $\mathrm{T}\left(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\right)=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$, in other words the torsion subgroup of this latter quotient group is a proper subgroup. This entails the fact that the inclusion $\mathrm{T}(\mathbb{U}) \subset \mathbb{U}$ is proper (strict), otherwise the circle group $\mathbb{U}$ would itself be torsion (and we have seen it can't be, since it is isomorphic to a group strictly containing its torsion subgroup).