Uma versão do Teorema de Hurwitz

Question

Questão : vamos$\{f_n\}$ ser uma sequência de função analítica em $\mathbb{C}$ que convergem uniformemente em subconjuntos compactos de $\mathbb{C}$ para um polinômio $p$ de grau $m$. Prove isso para$n$ grande o suficiente, $f_n$ tem pelo menos $m$ zeros (contando multiplicidades).

Tentativa : Eu sei que esta é uma versão do teorema de Hurwitz, mas não quero apenas dizer "por Hurwitz". E se$f_n$ é identicamente $0$, então o problema é trivial, então vamos supor que não seja o caso. Para qualquer ponto$z_0\in\mathbb{C}$, há um $r>0$, de tal modo que $0<|z-z_0|\leq r$. Deixei$|z-z_0|=r$ seja o círculo $C$. Então, por convergência uniforme em$C$ (Desde a $C$ é compacto, pois é um círculo) temos $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$e $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$. Então,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ Portanto, uma vez que a integral no LHS dá o número de zeros de $f_n(z)=0$ dentro $C$, nós vemos que $f_n$ e $p$ tem o mesmo número de zeros dentro $C$. De locação$r\rightarrow\infty$ dá o resultado em $\mathbb{C}$.

Você vê algo de errado com a prova? Em particular, há algo acontecendo com o "para$n$ grande o suficiente "ou" contando partes múltiplas "do problema com as quais eu deveria ter cuidado? Qualquer ajuda é muito apreciada! Obrigado.

Answer 1

Existem alguns problemas com o seu argumento:

Para qualquer ponto $z_0\in\mathbb{C}$, há um $r>0$, de tal modo que $0<|z-z_0|\leq r$.

O que é $z$ aqui?

Então, por convergência uniforme em $C$ (Desde a $C$ é compacto, pois é um círculo) temos $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...

Você precisa disso $p(z) \ne 0$ em $C$ para esta conclusão.

... e $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$.

Pode ser, mas o que você precisa é que $f_n'(z) \to p'(z)$ em $C$.

Eu começaria da seguinte forma: primeiro, podemos assumir que o grau $m$ do $p$ é pelo menos um (caso contrário, não há nada para mostrar), de modo que $p$é um polinômio não constante. Então escolha$r > 0$ tão grande que todas as raízes de $p$ estão dentro $\{ |z| < r \}$. Agora considere o círculo$C$ centrado na origem com raio $r$. Observe que$p$ é diferente de zero em $C$.

Finalmente mostre isso $f_n'/f \to p'/p$ uniformemente em $C$, e aplicar o princípio do argumento.