União de bolas é convexa

Question

Dado $X \subset \mathbb{R}^n$ e $\varepsilon > 0$, Deixei $B(X;\varepsilon)$ seja a união de $B(x;\varepsilon)$ (bolas com centro dentro $x \in X$ e raio $\varepsilon$)

Mostre que se X é convexo, então $B(X;\varepsilon)$ é convexo.

Eu vejo que se dois elementos $x,y$ estão dentro da mesma bola, então eu tenho o segmento de linha que conecta $x$ e $y$ tudo dentro daquela bola, porque todas as bolas dentro $\mathbb{R}^n$ são convexos.

Mas não sei como proceder se não estiverem dentro da mesma bola.

Alguma dica?

Answer 1

Deixei $x,y\in B(X,\epsilon)$. Por definição, existem$x_0,y_0\in X$ de tal modo que $||x-x_0||<\epsilon$ e $||y-y_0||<\epsilon$. Agora deixe$t\in (0,1)$. Temos que mostrar que o ponto$(1-t)x+ty$ é em $B(X,\epsilon)$também. Agora, desde$X$ é convexo, sabemos disso $(1-t)x_0+ty_0\in X$. Além disso:

$||((1-t)x+ty)-((1-t)x_0+ty_0)||=||(1-t)(x-x_0)+t(y-y_0)||\leq $

$\leq(1-t)||x-x_0||+t||y-y_0||<(1-t)\epsilon+t\epsilon=\epsilon$

então $(1-t)x+ty\in B((1-t)x_0+ty_0,\epsilon)\subseteq B(X,\epsilon)$.

Answer 2

Na verdade seu $B(X,\varepsilon)$é a adição de Minkowski $X \oplus B(0,\varepsilon)$ dos conjuntos convexos $X$ e $B(0,\varepsilon)$ (bola centrada em $0$ com raio $\varepsilon$)

Nesse contexto, a resposta é imediata: há um teorema clássico (fornecido na referência da Wikipedia) que diz que a adição de Minkowski de 2 conjuntos convexos é ela mesma convexa.