Uso de argumentos de simetria
Estou tentando resolver o problema $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$usando argumentos de simetria. Alguém poderia me direcionar para uma pergunta semelhante ou me orientar através de um problema semelhante para que eu possa aprender o método para resolver problemas como este?
editar: Aqui estão as etapas que dei: $$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}$$ $$\int_V r^2\sin\theta\, e^{iar\sin^2\theta\cos^2\phi}e^{-br^2}dr\,d\theta\, d\phi,$$ e acho que posso argumentar que $\theta = \pi /2$ e $\phi = 0$, mas não sei se ou como isso afetará a integral.
editar 2:
Depois de receber conselhos de Daniel e Cosmas, vejo agora por que as coordenadas esféricas não são o movimento correto. Seguindo os passos detalhados por Cosmas,$$\int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\int_0^xe^{-bx^2}dx\int_0^ye^{-by^2}dy$$ $$= \int_0^ze^{iaz-bz^2}dz\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right)$$ $$=\left( \frac{\sqrt{\pi}e^{-\frac{a^2}{4b}}erf(\sqrt{b}z-\frac{ia}{2\sqrt{b}})}{2\sqrt{b}} \right)\left( \frac{\pi}{4b}erf(\sqrt{b}x)erf(\sqrt{b}y)\right),$$
que eu suponho que você resolveria com mais informações sobre os valores de x, y e z, uma vez que as funções de erro de valor pequeno e grande têm expansões diferentes. Cosmas recomendou remover o termo b imediatamente, mas fiz isso em partes usando a substituição u.
Respostas
Este é o produto das transformadas de Fourier de três gaussianas. Mas, é claro, com simetria substancial, seria um desperdício realizar os três.
Primeiro, redefinindo $\sqrt{b} ~{\mathbf x}\mapsto {\mathbf x}$, dimensionar b para fora do problema,$$\int d^3x\,e^{i{\bf a}\cdot{\bf x}}e^{-br^2}= b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}.$$
Você, então, observe que, uma vez que você integra em todas as direções, você pode escolher seu eixo z para estar na direção de a , isto é${\mathbf a}= a\hat {\mathbf z} $, $$ b^{-3/2} \int d^3x\,e^{i{{\bf a}\over \sqrt{b}}\cdot{\bf x}}e^{-r^2}= b^{-3/2} \int\!\! dz~ e^{i{ a\over \sqrt{b}} z}e^{-z^2}\int\!\! dx dy ~~e^{-x^2-y^2}.$$
Então você tem duas gaussianas e a transformada de Fourier de uma gaussiana, que também é uma gaussiana com sua largura relacionada inversamente à largura original. Você pode terminar.
$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $\ds{\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}}:\ {\Large ?}}$.
\begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int\dd^{3}x\,\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}} \expo{-br^{2}}} = \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \pars{\int_{\Omega}\expo{\ic{\bf a}\cdot{\bf x}}{\dd\Omega \over 4\pi}} 4\pi r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ \int_{0}^{\infty}\expo{-br^{2}} \bracks{\sin\pars{ar} \over ar}4\pi r^{2}\,\dd r \,\,\,\stackrel{\large ar\ \mapsto\ r}{=}\,\,\, \left.{2\pi \over a^{3}}\int_{-\infty}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{\sin\pars{r} \over r}r^{2}\,\dd r \,\right\vert_{\large\ \mu\ \equiv\ b/a^{2}}\label{1}\tag{1} \\[5mm] = &\ {2\pi \over a^{3}}\int_{0}^{\infty}\expo{-\mu r^{2}} \bracks{{1 \over 2}\int_{-1}^{1}\expo{\ic kr}\dd k}r^{2}\,\dd r \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu\bracks{r - {k \over 2\mu}\,\ic}^{2} - {k^{2} \over 4\mu}} r^{2}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\pars{-\mu r^{2}} \pars{r^{2} + {k \over \mu}\,r\,\ic - {k^{2} \over 4\mu^{2}}}\,\dd r\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \bracks{% \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}r^{2}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}}\ -\ {k^{2} \over 4\mu^{2}}\ \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}\exp\pars{-\mu r^{2}}\,\dd r} _{\ds{\root{\pi} \over \mu^{1/2}}}}\,\dd k \\[5mm] = &\ {\pi \over a^{3}}{\root{\pi} \over 2\mu^{3/2}}\ \underbrace{\int_{-1}^{1}\exp\pars{-\,{k^{2} \over 4\mu}} \pars{1 - {k^{2} \over 4\mu}}\dd k} _{\ds{\exp\pars{-\,{1 \over 4\mu}} + \root{\pi\mu}\,\mrm{erf}\pars{1 \over 2\root{\mu}}}} \\[5mm] = &\ \bbx{{1 \over 2}\pars{\pi \over b}^{3/2}\exp\pars{-\,{a^{2} \over 4b}} + {\pi^{2} \over 2ab}\,\mrm{erf}\pars{a \over 2\root{b}}} \\ & \end{align}