Valor de um integral

Question

Eu preciso verificar o valor da seguinte integral $$ 4n(n-1)\int_0^1 \frac{1}{8t^3}\left[\frac{(2t-t^2)^{n+1}}{(n+1)}-\frac{t^{2n+2}}{n+1}-t^4\{\frac{(2t-t^2)^{n-1}}{n-1}-\frac{t^{2n-2}}{n-1} \} \right] dt.$$ O integrando (fator de $4n(n-1)$) incluído) é o pdf de determinada variável aleatória para $n\geq 3$e, portanto, espero que seja 1. Se alguém pudesse gentilmente colocá-lo em algum sistema de álgebra computacional como o MATHEMATICA, eu ficaria muito grato. Não tenho acesso a nenhum software CAS.

PS: -Não conheço nenhum software CAS livre. Se houver alguém, por favor, compartilhe

Answer 1

O integral pode ser reescrito como \begin{align*} I&=\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}-t^{2n-1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}-t^{2n-1}}{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2n+2}+\frac{n(n-1)}{2}\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}-\frac{t^n(2-t)^{n-1}}{n-1}\,dt. \end{align*} Integrando por partes, obtemos $$\int_0^1\frac{t^{n-2}(2-t)^{n+1}}{n+1}\,dt=\frac{1}{n^2-1}+\int_0^1\frac{t^{n-1}(2-t)^n}{n-1}\,dt.$$ Portanto, \begin{align*} I&=\frac{1}{2}+\frac{n}{2}\int_0^1t^{n-1}(2-t)^n-t^n(2-t)^{n-1}\,dt\\[6pt] &=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\int_0^1(t^n(2-t)^n)'\,dt=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1. \end{align*}

PS Você pode usar SageMath e WolframAlpha para cálculos simbólicos. Ambos são gratuitos.

Answer 2

Parece que sua conjectura é verdadeira. Mathematica dá o resultado$$ (1 + 4^n (-1 + n) n \mbox{Beta} [1/2, -1 + n, 2 + n] - 4^n n (1 + n) \mbox{Beta} [1/2, 1 + n, n])/(2 (1 + n)) $$ em termos da função Beta incompleta, e colocando números inteiros aleatórios $\geq 3$ sempre produz 1 (não consegui fazer o Mathematica cuspir isso como um resultado geral para arbitrários $n$)

Answer 3

Você pode usar CoCalc . Por exemplo, digite integral(x^2,x)e obtenha1/3*x^3

Também permite parâmetros simbólicos.

Entrada:

f(x,n)=x^2+n

integral(f(x,n),x)

Resultado:

1/3*x^3+n*x