valor esperado da amostra

Question

Suponha que temos uma distribuição que tem algum pdf, digamos, $f(x)= 4(3-x^3)$ para $0<x<2$e $0$em outro lugar. Eu sou capaz de encontrar$E(X)$ e $Var(X)$ usando a definição padrão de valor esperado (ou seja, integral de $xf(x)$) e variância. Mas suponha que recebamos uma amostra aleatória de algum tamanho, digamos$15$, foi obtido a partir dessa distribuição e, portanto, essa própria amostra terá uma média, e o problema é encontrar o valor esperado da média da amostra. Eu inicialmente pensei que o valor esperado e a variância da média da amostra seriam apenas$E(X)$ e $Var(X)$ respectivamente, mas não tenho certeza se a média e a variância da amostra serão influenciadas pelo tamanho da amostra.

Minha pergunta é se o valor esperado da média da amostra é o mesmo que $E(X)$ independentemente do tamanho da amostra, e se não, qual é a abordagem para determinar o valor esperado da média da amostra levando em consideração o tamanho da amostra.

Obrigado.

Answer 1

Faça a suposição de que $X_1,\dots,X_n\overset{iid}{\sim} \text{Distribution}$ tem um meio $\mu$ e uma variação $\sigma^2$. o$\text{Distribution}$ não precisa ser normal (embora pudesse ser).

Eu dei as derivações completas. Minha sugestão é rolar para baixo uma linha de cada vez e tentar antecipar minha próxima linha para que você mesmo possa provar.

SIGNIFICAR

$$\mathbb{E}\big[\bar{X}\big] =\mathbb{E}\Bigg[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\mathbb{E}\Bigg[\sum_{i=1}^n X_i\Bigg]$$

$$=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbb{E}\big[ X_i\big]$$

$$= \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mu$$

$$=\dfrac{1}{n} n\mu$$

$$=\mu$$

VARIÂNCIA

$$Var\big(\bar{X}\big) = Var\Bigg(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\Bigg)$$

$$=\dfrac{1}{n^2}Var\Bigg(\sum_{i=1}^n X_i\Bigg) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var\big(X_i\big) $$

$$=\dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{1}{n^2}n \sigma^2 $$

$$=\dfrac{\sigma^2}{n} $$

NOTA : Esta NÃO é uma prova do teorema do limite central.