Valor presente da anuidade diferida com valores variáveis

Question

Uma anuidade anual paga o valor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (em dólares), o primeiro pagamento ocorre no final do segundo ano. O valor presente em$𝑡=0$ desta anuidade é de 25 dólares a uma taxa efetiva anual $i$.

Outra anuidade anual paga o valor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4, 3, 2, 1 (em dólares), ocorrendo o primeiro pagamento no final do primeiro ano. O valor presente em$𝑡=0$ desta anuidade é $V$ dólares a uma taxa efetiva anual $i$.

Qual é o valor de $V$?

Estou tentando resolver esse problema há dois dias, mas não sei por onde começar. Preciso encontrar a taxa efetiva anual primeiro usando o valor presente fornecido? Meu problema com isso é que, uma vez que os pagamentos não são todos iguais, preciso calculá-los todos individualmente? Ou existe uma fórmula?

Obrigado !!

Answer 1

Deixei $$p(v)=v^2+2v^3+3v^4+4v^5+5v^6+6v^7+5v^8+4v^9+3v^{10}+2v^{11}+v^{12}$$ Desde a $p(0)=0$, $p$ está aumentando estritamente em $v\geq0$e $p(v)\to\infty$ Como $v\to\infty$, há um único $r>0$ de tal modo que $p(r)=25$.

Agora, $$\begin{align} p(v)&=v^2(1+2v+3v^2+4v^3+5v^4+6v^5+5v^6+4v^7+3v^8+2v^9+v^{10})\\ &=v^2(1+v+v^2+v^3+v^4+v^5)^2\\ &=\left(v\frac{v^6-1}{v-1}\right)^2 \end{align}$$onde a segunda equação é comprovada na resposta aceita a esta pergunta , de modo que$$\frac{r^7-r}{r-1}=5$$
Deixei $$q(v)=v+2v^2+3v^3+4v^4+5v^5+6v^6+6v^7+5v^8+4v^9+3v^{10}+2v^{11}+v^{12}$$ Então $$\begin{align} q(v)-p(v)&=v+2v^2+3v^3+4v^4+5v^5+6v^6-(v^2+2v^3+3v^4+4v^5+5v^6)\\ &=v+v^2+v^3+v^4+v^5+v^6\\&=\frac{v^7-v}{v-1} \end{align}$$ de modo a $$q(r)-p(r)=\frac{r^7-r}{r-1}=5$$ e $$q(r)=25+5=\boxed{30}$$