Variedade complexa definida sobre $\mathbb{Q}$

Question

Se considerarmos variedades projetivas complexas, a serem definidas ao longo $\mathbb{Q}$ significa que há um embedding projetivo cuja imagem é o locus de fuga de um sistema polinomial com coeficientes em $\mathbb{Q}$.

Se considerarmos variedades complexas fechadas, não há espaço ambiente óbvio.

No entanto, podemos exigir que haja um número inteiro positivo $n$ e uma escolha de

• para qualquer $1\leq i\leq n$, conjuntos abertos $U_i\subset M$
• para qualquer $1\leq i<j\leq n$ de tal modo que $U_i\cap U_j\neq \emptyset$, pontos $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• para qualquer $1\leq i \leq n$, embeddings holomórficos $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ tal que para qualquer $i< j \leq n$ com $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ os mapas de transição $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ são razões de duas funções holomórficas $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ cada um tendo séries de Taylor com coeficientes em $\mathbb{Q}$ em volta $p_{i, j}$ que convergem em todos $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

Essa noção foi estudada? Existe um manifold complexo fechado que não esteja na classe Fujiki$\mathcal{C}$ satisfazendo essa condição?

Answer 1

Observe que esta é uma resposta correta para a pergunta original, então vou deixá-la aqui, embora a pergunta tenha sido alterada. (A pergunta original é recuperável voltando para as versões anteriores.)

Na verdade, cada variedade complexa possui esse atlas.

Deixar $(M,J)$ ser um complexo (dimensão finita) $n$-manifold e deixe $\mathscr{U}$ ser uma capa aberta de $M$com as propriedades que (i) para cada$U\in\mathscr{U}$, existe um $J$- gráfico holomórfico $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$, e (ii) Para cada$U\in\mathscr{U}$ há um ponto $p\in U$ isso não se encontra em nenhum $V\in\mathscr{U}$ outro que não seja $U$. (Usando a paracompactação, não é difícil construir tal gráfico.) Então, escolhendo um tal 'ponto de referência'$p_U\in U$ com $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ para $V\not=U$ e um $J$- gráfico holomórfico $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ de modo a $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$, chegamos a um 'atlas pontudo' $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$com todas as propriedades declaradas. A razão é que a única vez que o ponto$p_U$ está no domínio de uma função de transição para o atlas pontudo $ \widehat{\mathscr{U}}$ é quando alguém está em 'transição' de $U$ para $V=U$, e, nesse caso, a única função de transição é o mapeamento de identidade em $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$, cuja série de Taylor em $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ claramente tem todos os coeficientes em $\mathbb{Q}$ (na verdade, todos os coeficientes estão em $\mathbb{Z}$)