VECM representando um sistema I (0)?

Question

Refiro-me a Johansen (1991), onde ele considera um$p$processo de ordem autorregressivo dimensional $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

escrito em formato de correção de erro vetorial

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

Onde $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ e $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$.

Ele afirma sem referência ou prova que se o $\ p\times p \ $ matriz $\Pi$ tem classificação completa então $X_t$ é um processo estacionário.

Alguém pode me fornecer uma referência ou pode provar isso?

Answer 1

Sim, vou fornecer uma referência e uma rápida intuição. Em Lutkepohls "Nova introdução à análise de várias séries temporais" (2005, p.248), ele explica que a classificação completa de$\Pi$ na equação (2) realmente implica que $X$é estacionário. A classificação de uma matriz está diretamente relacionada à sua invertibilidade, matrizes de classificação completa são invertíveis e matrizes de classificação inferior são singulares. Isso é óbvio se você pensar no determinante como o produto dos elementos diagonais da matriz reduzida, quando não é uma classificação completa, pelo menos um elemento neste produto é zero, tornando o determinante zero. A invertibilidade de$\Pi$tem a ver com a estabilidade de$\Pi$, o que por sua vez implica estacionariedade.