Vetores Row Rank e Column da Matrix

Question

Para matriz $A \in M_{m×n}$, deixe a classificação ser k e $r_1 , . . . , r_k$ser um subconjunto de linhas de A formando uma base do espaço de linha. Como podemos mostrar que existem vetores coluna$c_j$ de tal modo que $A =\sum^k_{j=1} c_j r_j$?

Eu sei disso $c_j r_j$ é uma matriz mxn e estamos adicionando uma série de $c_j r_j$juntos. Mas tenho pouca ideia de como mostrar que existem vetores de coluna$c_j$. Qualquer ajuda ou sugestão é apreciada.

Answer 1

DICA: Deixe$r_i$ seja a ª linha de $A$, e deixar $c_i^*$ ser um vetor coluna com $m$ entradas que consistem em um $1$ na enésima entrada e um $0$em qualquer outro lugar. Você pode mostrar que isso é verdade?

$$A = \sum_{i=0}^m c_i^{*} r_i$$

Depois de ver por que isso é verdade, você consegue descobrir uma maneira de usar esse fato para resolver seu problema?