Volume da pirâmide baseada em polígono

Question

Eu li em um livro há alguns meses que o volume de uma pirâmide (sólida) com uma base que é QUALQUER polígono (não tenho certeza se mencionou ser regular ou não) é igual a $$\frac{1}{3}\times A\times h$$ Onde $A$ é a área da base (ou seja, do polígono) e $h$ é a altura da pirâmide.

Isso parece ser verdade em muitos casos, como quando a base é um quadrado, um triângulo e quando a base é um círculo (ou seja, a pirâmide se torna um cone).

Minha pergunta é: como podemos provar isso? Eu simplesmente não tenho ideia.

Obrigado pela ajuda.

Answer 1

Qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos, dando $A = A_1 + \cdots + A_n$.

Portanto, $$\begin{align} V &= V_1 + \cdots + V_n\\ &=\frac13A_1h + \cdots + \frac13A_nh\\ &=\frac13(A_1 + \cdots + A_n)h\\ &=\frac13Ah. \end{align}$$

---

Para o caso básico, você pode decompor um prisma dessa forma. Para ver que as três pirâmides têm o mesmo volume, observe que as pirâmides esquerda e do meio compartilham uma base azul e têm a mesma altura; da mesma forma, as pirâmides do meio e da direita compartilham uma base vermelha e têm a mesma altura.

Answer 2

Para o caso mais geral em que a base nem precisa ser um polígono, é uma aplicação do Princípio de Cavalieri . Imagine uma pirâmide com uma base em forma de bolha e uma pirâmide quadrada próxima a ela com a mesma altura e cuja base tem a mesma área da primeira pirâmide. Uma vez que qualquer seção transversal de nível das duas pirâmides teria que ter a mesma área, os volumes também devem ser iguais.

Há uma imagem maravilhosa que mostra que a área de uma pirâmide quadrada cuja altura é igual ao tamanho da base e cujo vértice está acima de um dos cantos da base é 1/3 do volume de um cubo unitário. Para encurtar a história, você pode construir três dessas pirâmides e ver que elas podem se encaixar para formar um cubo unitário. A partir daí, o único passo restante é se convencer de que o volume de uma pirâmide cuja base é uma unidade quadrada é diretamente proporcional à altura da pirâmide. Nesse ponto, você provou isso de uma pirâmide quadrada unitária com altura unitária a uma pirâmide quadrada unitária de altura arbitrária até uma base arbitrária e altura arbitrária.