Zero é sempre um submódulo supérfluo.

Question

Definição:-1  Um submódulo$N$ de um módulo$M$  é considerado supérfluo (ou pequeno) se não houver submódulo adequado  $K$de  $M$de tal modo que $M=N+K$.

Definição:-2 radical de Jacobson$J(M)$de um módulo$M$é a soma de todos os submódulos supérfluos de$M$.

Eu tenho uma confusão sobre o caso trivial. Claramente, o submódulo zero de cada módulo diferente de zero é supérfluo. Mas quando$M=0$então$J(M) =0$. A partir dessas noções, penso$0$deve ser um submódulo supérfluo de$0$. Por favor tire minha dúvida. Eu serei muito grato a Você.

Answer 1

$0$é também um submódulo supérfluo de$M=0$, porque para todos os submódulos apropriados$K\subsetneq M$, temos$0+K\ne 0$.