Что такое p-адические алгебраические числа?

Question

"Дано $p$, какие элементы $\mathbb{Q}_p$ алгебраический над $\mathbb{Q}$? "

Я периодически удивляюсь этому и сталкиваюсь с этим вопросом о математическом потоке, который, кажется, задает одно и то же. Выбранный ответ, похоже, не отвечает на этот вопрос (который я вижу), и поиск в Google «p-адических алгебраических чисел» возвращает этот вопрос как лучший результат. В этот момент я сдаюсь и жду, пока не забуду, и пробую снова. На этот раз я спрошу:

Знаете ли вы о (более удобной) характеристике $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ или ссылки на "$p$-адические алгебраические числа? "

Я не уверен, что есть характеристика «реальных алгебраических чисел», более удовлетворительная, чем «реальные алгебраические числа», но p-адическое абсолютное значение по своей сути более «алгебраическое», чем реальное абсолютное значение, и есть различия, например $p$ меняется, так что они?

Answer 1

Позволять $O_\overline{\Bbb{Q}}$ - целые алгебраические числа, возьмем некоторый максимальный идеал $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ содержащий $p$, позволять $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$, тогда $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ а также $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ является (изоморфным) подполе поля $\overline{\Bbb{Q}}$ фиксируется $G$.

Равнозначно, пусть $S$ - множество (бесконечной степени) алгебраических расширений $K/\Bbb{Q}$ для которого некоторый максимальный идеал $\mathfrak{p}\subset O_K$ таково, что $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. потом$\Bbb{Z}_p$ является (изоморфным) пополнению $O_K$ в $\mathfrak{p}$, а также $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ является (изоморфным) любому максимальному элементу $S$.