Последовательности Фёльнера со странными формами
Позволять $G$- дискретная конечно порожденная группа. Напомним, что$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$является последовательностью Фёльнера, если$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ для каждого $g \in G$. Как известно, существование последовательности Фёльнера равносильно аменабельности$G$.
Часто говорят, что последовательности Фёльнера имеют странную форму. Мой мягкий вопрос: какие у нас есть примеры, подтверждающие это утверждение? Конечно, если$G$имеет субэкспоненциальный рост, то подпоследовательность шаров образует последовательность Фёльнера, и это не имеет странной формы. Следовательно, более конкретно: какие примеры групп экспоненциального роста мы знаем, которые имеют явные последовательности Фёльнера, не состоящие из шаров?
В качестве примеров примеров, которые я прошу, последовательность Фолнера в форме звезды запрашивает множества Фёльнера определенной формы, в то время как ответ множеств Фолнера и шаров дает явные последовательности, состоящие из прямоугольников (в отличие от шаров). Точно так же группа ax + b имеет последовательность Фёльнера, состоящую из прямоугольников, у которых одна сторона экспоненциально больше другой.
Ответы
Алгебра здесь более полезна, чем картинки, но картинки забавные, так что начнем. Чтобы подкрепить свой комментарий о фонарном фонаре, быстрые визуализации типичного шара и набор фонарщиков Фёльнера. На самом деле я не знаю, какой из них красивее, но набор Фёльнера на самом деле больше похож на мяч.
Два снимка сделаны под разными углами и, таким образом, образуют стереограмму, поэтому, если вы посмотрите на крайнее левое изображение правым глазом и наоборот, ваш стереопсис должен сработать. Я считаю это полезным, если вы этого не сделаете, вы можете проигнорировать одно из Картины.
Во-первых, шар или радиус $3$с генераторами, куда движется голова. Когда голова движется вправо, вы поднимаетесь по диаграмме. Я использую некоторые условности, о которых, надеюсь, можно догадаться.
Вот типичный набор Фёльнера с такими же генераторами.
Этот вопрос был популярен в 50-х и 60-х годах после доказательства теоремы Фолнера. Было построено множество примеров странных множеств Фолнера. Типичными примерами групп, в которых множества Фолнера не являются шарами, являются группы фонарщиков и сплетения бесконечных циклических групп. Более свежие статьи см. У Анны Эршлер. Об изопериметрических профилях конечно порожденных групп. Геом. Dedicata, 100: 157–171, 2003 и ссылки в нем.
Ответ на ваш , не мягкий вопрос в том , что все следующие группы имеют [ по крайней мере , один] порождающее множество , где шары известны не быть Folner, а какие - то другое ( «прямоугольным») последовательностью является: разрешим Баумслагом-Солитэр, некоторые сплетения (включая фонарщик), некоторые расширения$\mathbb{Z}^d$ от $\mathbb{Z}$ (заданные матрицей без собственных значений нормы 1), некоторые $ax+b$ группы и в основном почти любые аменабельные группы экспоненциального роста, ряды роста которых рациональны и были вычислены (подробности см. ниже).
«странность» множеств Фолнера: Как упоминалось в вопросе, [подпоследовательность последовательности] шаров образует естественную последовательность Фолнера в любой группе субэкспоненциального роста. Теперь, как указывали другие, шары (относительно некоторого конечного порождающего множества) довольно «уродливы». Это можно уточнить, если рассмотреть концепцию оптимального набора Фолнера:
Позволять $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (в $\inf$ проходит по всем сетам $A$ размера $\leq n$) - изопериметрический профиль. Тогда набор$F$ оптимально, если $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. На словах: если набор$E$ не больше [по мощности], чем $F$, то это изопериметрическое соотношение $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$, не превосходит изопериметрическое соотношение $F$.
Можно проверить (используя неравенство Лумиса-Уитни), что оптимальное множество Фолнера $\mathbb{Z}^d$(относительно обычного порождающего множества) являются [гипер] кубами (или имеют тенденцию иметь прямоугольную форму). Это недвусмысленный способ сказать, что шары - это «неуклюжие» наборы Фолнера. Для сравнения, оптимальные наборы вовсе не «странные» (поскольку они должны быть очень хорошо выбраны).
Подробнее о странностях см. В примечаниях ниже.
Явные примеры: Далее, учитывая группу экспоненциального роста, остается открытым вопрос, является ли какая-либо подпоследовательность последовательности шаров Фолнером. Я дал частичный ответ, который показывает, что это не тот случай, когда группа [вместе с выбором генераторной установки] пережила экспоненциальный рост. Это включает в себя множество сплетений, разрешимые группы Баумслага-Солитара и некоторые расширения$\mathbb{Z}^d$ от $\mathbb{Z}$ (подробности см. по ссылке).
Все эти группы можно записать как полупрямые произведения. Если$G$ а также $H$ поддаются, то можно показать, что $G \rtimes H$ поддается и что наборы Фолнера имеют форму $E_n \times F_n$ (где $E_n$ [соотв. $F_n$] - последовательность Фолнера $G$ [соотв. $H$]). В этом смысле множества Фолнера, с которыми мы сталкиваемся (лениво, в том смысле, что они производятся общим доказательством) в таких группах, являются «прямоугольными».
Следовательно, упомянутые выше группы [разрешимая Баумслага-Солитара, некоторые метабелевы группы, группы, ряды роста которых рациональны и не имеют двух полюсов в радиусе сходимости (который включает в себя множество сплетений и $ax+b$-groups)] являются прямым ответом на ваш второй вопрос (для некоторой генераторной установки). Известно, что шары (относительно порождающих множеств) не являются Фолнером, но есть некоторое «прямоугольное» множество (чтобы быть точным: могут быть группы с одним полюсом, которые не являются полупрямыми произведениями или расширениями аменабельных групп; для этих групп [ если известны] "прямоугольных" множеств не существует).
Для нерасщепляемых расширений описание множеств Фолнера было дано там Ycor. Обратите внимание, что можно адаптировать значение слова «прямоугольный» для нерасщепляемых расширений: взяв прообраз множества Фолнера частных умноженных на некоторое множество Фолнера подгруппы.
Так что теперь можно подумать, что «прямоугольные» (а не шары) фавориты. Но есть еще и простые группы промежуточного роста, см. Этот вопрос . И (если не для таких групп, то для других простых групп субэкспоненциального роста) я полагаю, что только шары - это кандидаты, которые у нас есть.
По сути, я думаю, что проблема больше связана с тем, как мы строим аменабельные группы. Мы всегда используем четыре свойства аменабельности (расширение, подгруппа, фактор и прямой предел). Итак, они начинают с роста как основного критерия и используют эти четыре свойства (возможно, есть много способов сделать это). Это даст вам известные наборы Фолнера для данной группы. В качестве глупого примера можно сказать, что естественный Фолнер наступает.$\mathbb{Z}^3$ цилиндры (шары в $\mathbb{Z}^2$ раз шары в $\mathbb{Z}$).
Боковое примечание 1: это давний открытый вопрос, чтобы доказать, что такое множества в (непрерывной) группе Гейзенберга (хотя предполагаемая форма хорошо описана). Это было моей мотивацией для этого вопроса.
Боковое примечание 2: Как указано Ycor, учитывая последовательность Фолнера$F_n$ вы можете сделать его «настолько странным, насколько захотите», рассмотрев произвольную последовательность конечных множеств $E_n$ с участием $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. Одним из преимуществ рассмотрения оптимальных последовательностей Фолнера было бы избежание таких установок (очевидный недостаток состоит в том, что почти нет групп, для которых известны оптимальные наборы). Еще одно замечание: добавление такого набора$E_n$не влияет на получаемую инвариантную меру (для фиксированного ультрафильтра). Обратите внимание, что перевод наборов может повлиять на меру ограничения.
Примечание 3: вот еще один аспект «странности» наборов Фолнера. Рассмотрим последовательность$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$, также как и $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ наборов в $\mathbb{Z}$. Затем рассмотрим функцию$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. Инвариантное среднее получается из$P_n$ на $f$ равно 1 (какой бы ультрафильтр вы ни выбрали), тот, который вы получаете с $M_n$ является $-1$ (опять же, независимо от ультрафильтра) и, наконец, тот, который вы получаете с $A_n$зависит от выбранного вами ультрафильтра. И вы можете построить любое действительное число в$[-1,1]$ последовательность $R_n$которое сходится к этому числу (независимо от ультрафильтра). Нетрудно построить последовательность, которая может, в зависимости от ультрафильтра, сходиться к любому рациональному числу в$[-1,1]$.