Alt grup eleman bileşimi

Question

Lütfen aşağıdaki kanıtı doğrulayın.

---

İzin Vermek $H$ Abelian grubunun bir alt grubu olmak $G$ elementlerle $h \in H$ ve $g \in G$ fakat $g \notin H$.

Teoremi

Ürün $gh \notin H$.

Kanıt

İzin Vermek $x = gh$. Varsaymak$x \in H$, sonra çarparak $h^{-1} \in H$ bizde var $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Bu yüzden iki unsur oluşturduk$H$ ve bir element elde etti $g \notin H$ ve bu, alt grubun kapanmasını ihlal eder, dolayısıyla $gh \notin H$. $\square$

Answer 1

Hipotez: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.

Farz et ki $gh\in H$ ve bir çelişki yaşayacağız /

Dan beri $h\in H$ ve $H$ sahip olduğumuz bir alt grup $h^{-1}\in H$.

Dan beri $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ çelişki.

Bu gerçeği kullandım "eğer $a,b\in H\leq G$ sonra $ab,ba\in H$"

Answer 2

Aslında

Eğer $H$ alt grubudur $G$ ve $h \in H$sonra herkes için $g \in G$ sahibiz $gh \in H \iff g \in H$.

Aslında, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Tersine,$g \in H \implies gh \in H$. Her iki iddia da takip ediyor çünkü$H$ bir alt gruptur ve bu nedenle ürünler ve tersler altında kapalıdır.

Answer 3

Evet. Ya da gösterdiğini söyleyebilirsin$g\in H$. Her iki durumda da çelişki. Bu kanıtı tamamlar.