Alt grup sunumu

Question

İzin Vermek $G$ sunumu olan grup ol $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Alt grup için bir sunum yapmak istiyorum $H$ elementler tarafından oluşturulmuş $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

Sunumu varsaymak yeterli mi $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ ve sunumundaki ilişkilerin $G$ açıkça tahmin edilenleri ima etmek $H$ ve ilişkileri $H$ sunumundaki ilişkileri ima etmek $G$.

Answer 1

Hayır, "gizli" ilişkiler olabileceğinden bu yeterli değildir. Örneğinizde,$H$ gerçekten de verilen sunuma sahip ve muhtemelen grubun özelliklerini kullanarak bunu "elle" göstermek mümkündür. $G$ama bu "açıkça" doğru değil.

Alternatif olarak, Reidemeister-Schreier yöntemini kullanabilirsiniz. Bu, bir grubun belirli bir alt grubunun sunumunu bulmaya yönelik bir süreçtir ve burada güzelce işliyor çünkü$H$ içinde sonlu indeksi var $G$. Yönteme iki yaklaşım vardır: Magnus, Karrass ve Solitar'ın Kombinatoryal grup teorisi kitabının Bölüm 2.3'ünde veya Lyndon ve Schupp'un aynı adlı kitabının II.4.Bölümünde kapsanan klasik kombinatoryal / cebirsel versiyon ve Sunum komplekslerinin kaplamalarını kullanan topolojik versiyon ( buraya bakın ). Kişisel olarak, cebirsel versiyonun bir "görselleştirmesi" olarak gördüğüm için topolojik versiyonu tercih ediyorum.

İşlem bir bilgisayarda da yapılabilir ( buraya bakın ), ancak bilgisayar isteyecektir.$p,q,r$ düzeltilmek.