bipolar teoremi

Question

Lemma'nın kanıtını incelerken aşağıdaki soruna takıldım$1.9$(i) Strătilă ve Zsidó'nun 'Lectures on von Neumann Algebras' kitabından.

İzin vermek$\mathscr{B}$bir Banach uzayı olsun ve$\mathscr{B}^*$ikili olmak$\mathscr{B}$. İzin vermek$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$bir norm-kapalı vektör alt uzayı olsun, öyle ki$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(yani izometrik olarak izomorfik) üzerinde kanonik çift doğrusal form aracılığıyla$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Yi hesaba kat$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topoloji açık$\mathscr{B}$hangi yarı norm ailesi tarafından tanımlanır$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, nerede$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$için$x\in \mathscr{B}$. İzin vermek$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$olmak$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-kapalı vektör alt uzayı.

Sorun: Eğer$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, o zaman kanıtla$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

yazarlar çağrı$\mathscr{M}^{\circ}$kutup$\mathscr{M}$ve ardından sonucun bipolar teoremden çıktığını söylüyor. Ama bu 'bipolar teorem' için herhangi bir referans bulamadım. Öyleyse birisi bana çözümle birlikte bu 'bipolar teoremi' için uygun bir referansta yardımcı olabilir. Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

İzin vermek$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Sahibiz$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$tanımı gereği$\mathscr M^o$. Var olduğunu varsayalım$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Olarak$\mathscr M$dışbükey ve$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-kapalı, Hahn-Banach tarafından var$\varphi$, doğrusal ve$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- ile sürekli$\varphi(z)=1$ve$\varphi|_{\mathscr M}=0$. bu$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- yerel olarak kompakt uzayın dualindeki sürekli fonksiyoneller tam olarak predualdekilerdir (örneğin, Conway'in A Course in Functional Analysis'deki Teorem V.1.3'e bakınız ); böyle$\varphi\in\mathscr B_*$. O zamanlar$\varphi\in\mathscr M^o$; olarak$z\in\mathscr M^{oo}$, biz olurdu$\varphi(z)=0$, bir çelişki. Böyle$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.