Bir n kategorisinin tanımı
Varsa, standart tanımı nedir? $n$-2020 itibariyle kategori? Kullanabileceğim literatür oldukça sınırlı, ancak şimdiye kadar sahip olduğum şeyleri listelemek için elimden geleni yapacağım.
[Lei2001] 'de Leinster, bir $n$-kategori ve eşdeğer olup olmadıkları konusunda herhangi bir yorumda bulunulmamıştır. [BSP2011] 'de, yazarlar aksiyomlar oluşturdular ve tüm (birçok?)$(\infty,n)$-kategori şu ana kadar aksiyomlarını karşılamaktadır ve bu nedenle eşdeğerdir (bir miktar eyleme kadar). Tamlık için bu tanımları buraya ekliyorum:
- (a) Charles Rezk'in tüm Segal Θn-uzayları,
- (b) n-katlı tam Segal alanları,
- (c) André Hirschowitz ve Simpson'ın Segal n kategorileri,
- (d) Clark Barwick ve Dan Kan'ın n-göreli kategorileri,
- (e) altında yatan homotopi teorisi (∞, n) kategorilerinin homotopi teorisi olan herhangi bir iç model kategorisinde zenginleştirilmiş kategoriler,
- (f) n = 1 olduğunda Boardman ve Vogt'un yarı kategorileri,
- (g) n = 1 olduğunda, Lurie'nin işaretli basit kümeleri ve
- (h) n = 2 olduğunda, Lurie'nin ölçeklendirilmiş basit kümeleri,
Ancak, [Lei2001] 'deki tüm vakalar kapsanmış gibi görünmüyor ve burada daha da fazlası var . Tanımlamak arasındaki can alıcı fark nedir?$n$-kategori ve bir $(\infty,n)$-kategori?
Soru
Kısacası, daha yüksek kategoriler için birçok tanım var .. öyleyse hangisini kullanmalıyız? Yapılan tüm tanımların bir listesi var mı ve hangisinin hangi anlamda hangi anlamda eşdeğer olduğu üzerine bir tartışma var mı? Hangi tanımın üç hipotezi karşıladığına dair tartışmalar da var mı?
- stabilizasyon hipotezi
- karışıklık hipotezi
- kobordizm hipotezi
[BD1995] 'te mi varsayıldı?
Referans
- [Lei2001]: n-Kategorisinin Tanımları Üzerine Bir Araştırma - [Tom Leinster] - [arXiv: math - 0107188]
- [BSP2011]: Daha Yüksek Kategorilerin Homotopi Teorisinin Birliği Üzerine- [Clark Barwick ve Christopher Schommer-Pries] - [arXiv: 1112.0040]
- [BD1995]: Yüksek Boyutlu Cebir ve Topolojik Kuantum Alan Teorisi- [John C. Baez ve James Dolan] - [arXiv: q-alg - 9503002]
İlişkili
- Gelişmeleri farklı temeller üzerinden tercüme etmek
Yanıtlar
Her şeyden önce, katı kavramları arasında önemli farklılıklar vardır. $n$-kategori, zayıf $n$-kategori ve $(\infty,n)$-kategori. En kolay fikir, katı$n$-kategori ve buradaki tanım hakkında hiç şüphe yok : katı$0$-kategori bir kümedir ve tümevarım yoluyla katı $n$-kategori, kategorisinde zenginleştirilmiş bir kategoridir $(n-1)$-kategoriler.
Zayıflık kavramı için erken bir model sunan Baez ve Dolan'ın makalesine atıfta bulunmanız güzel. $n$-kategori. 1995 ve 2001 arasında, diğer modellerde büyük bir artış oldu. Ahlaki olarak, zayıflar kategorisinde zayıf bir şekilde zenginleştirilmiş kategoriler olmalıdırlar.$(n-1)$-kategoriler, ancak zayıf bir zenginleştirmeyi tanımlamanın birçok yolu vardır, çünkü daha yüksek hücreleri ve bunların nasıl birleştiğini takip etmenin birçok yolu vardır. 2004'te, herkesi bir araya getirmeye ve modeller arasındaki ortak yanları ve hangilerinin diğerlerine eşdeğer olduğunu anlamaya çalışmak için bir konferans düzenlendi . Birinin "standart" model olarak ortaya çıkmasına neden olmadı ve bunun yakın zamanda olmasını beklemeniz gerektiğini düşünmüyorum. Ancak, artık zayıf modellerin$n$-kategoriler genel olarak iki kampa ayrılır. Wikipedia güzelce söylüyor :
Temelde iki teori sınıfı vardır: yüksek hücrelerin ve daha yüksek kompozisyonların cebirsel olarak gerçekleştirildiği (en dikkat çekici şekilde Michael Batanin'in zayıf yüksek kategoriler teorisi) ve daha topolojik modellerin kullanıldığı (örneğin, tatmin edici basit bir küme olarak daha yüksek bir kategori) bazı evrensellik özellikleri).
Wikipedia ayrıca "Çeşitli tanımların verildiğini ve bunların ne zaman eşdeğer olduklarını ve hangi anlamda kategori teorisinde yeni bir çalışma konusu haline geldiğini söyledi " diyor . Bu, şu anki haliyle benim alan anlayışıma uyuyor. Daha yüksek kategori teorisinin, zayıflar için birçok model hakkındaki sorularla ilgilendiğini düşünüyorum.$n$-kategoriler. Bu, çalışmasından farklı$(\infty,n)$Daha çok homotopi teorisinde yer alan kategoriler.
Şimdi, diğerleri gelip diyebilir "$(\infty,n)$-kategoriler doğru şeydir "çünkü MathOverflow, homotopi teorisyenlerinin daha yüksek kategori teorisyenlerinden daha büyük bir temsiline sahiptir. Yine orada kimin yazdığına bağlı olarak nLab'ı okurken aynı duyguyu elde edebilirsiniz. Ama Sidney, Avustralya'da takılırsanız, daha yüksek kategori teorisinin canlı ve iyi olduğu yerlerde, insanların $(\infty,n)$-kategoriler "doğru" model veya bunun için teklik teoremi $(\infty,n)$-kategoriler 2004'ten itibaren hangi zayıf modellerin hangileri olduğunu bulma sorununu çözer. $n$-kategoriler eşdeğerdir.
Ayrıca, çeşitli zayıf modellerde stabilizasyon hipotezi, karışıklık hipotezi ve kobordizm hipotezi ile ilgili devam eden birçok çalışma vardır. $n$-kategoriler. Örneğin, Batanin kısa süre önce Rezk'in modeline göre stabilizasyon hipotezini kanıtladı .$\Theta_n$-uzaylar. Sonra Batanin ve ben, bütün bir zayıf sınıf tanımları için geçerli olan başka bir kanıt verdik .$n$-Rezk modeli dahil kategoriler. 1998'de Carlos Simpson, Tamsamani'nin zayıf n-kategorileri tanımına ilişkin istikrar hipotezini kanıtladı. Gepner ve Haugseng , stabilizasyon hipotezini kanıtladı$(\infty,n)$- kategoriler ve Haugseng'in doktora tezini kullanarak elde edeceğiniz zayıf zenginleştirme türü (zenginleştirilmiş $\infty$kategoriler). Elbette, ünlü olarak Lurie, kobordizm hipotezini kanıtlamak için binlerce sayfa yazdı.$(\infty,n)$-kategoriler ve Ayala ve Francis çarpanlara ayırma homolojisini kullanarak daha kısa bir kanıt verdiler .
Eminim gözden kaçırdığım pek çok literatür vardır ve eminim ki bazıları "evet, zayıfların modellerini incelemek hala değerlidir. $n$-sadece çalışmak yerine kategoriler $(\infty,n)$-kategoriler. "Ama referans istediniz, bu yüzden başlamanıza yardımcı olacak bir sürü şey var.