Bu doğru mu $V^{\,T}SV=\Lambda$?
Komut istemi
Simetrik bir matris $S=S^T$ ortonormal özvektörlere sahiptir $\vec{v}_1$ -e $\vec{v}_n$. Sonra herhangi bir vektör$\vec{x}$ kombinasyon olarak yazılabilir $\vec{x} = c_1 \vec{v}_1+ \cdots + c_n \vec{x}_n$. Bu formülü açıklayın:$\vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \lambda_1 c_1^2+ \cdots + \lambda_nc_n^2$
Açıklamam:
$\vec{x}$ olarak yazılabilir $$ \begin{bmatrix} \vec{v}_1 & \cdots & \vec{v}_n \end{bmatrix}_{nxn} \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}_{\,nx1} = V\vec{c} $$ Düşünmek, $$ \vec{x}^{\,T}S\vec{x} = \vec{c}^{\,T}(V^{\,T}SV)\vec{c} = \vec{c}^{\,T}\Lambda\vec{c} = \lambda_1 c_1^2 + \cdots + \lambda c_n^2 $$ Ortonormal özvektörlerin $S$çapraz özdeğer matrisi yapmak için çarpın. Daha sonra vektör ağırlıklandırmalarının iç çarpımını elde ederiz.$c^2$ kendi öz değerlerine göre ölçeklendirilmiş terimler.
Açıklamam hakkında kendimi çok iyi hissediyorum. Tam olarak anlamadığım kısım, neden$V^{\,T}SV=\Lambda$... bana göre daha çok bir şeye eşit olmalı gibi görünüyor $\Lambda^T \Lambda$ çünkü sağ çarpıldığında her bir özvektör ölçeklenmiş olmalıydı çünkü $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$.
Bu doğru mu $V^{\,T}SV=\Lambda$? Öyleyse, neden takdir edileceğini görmek için biraz yardım edin.
Bunun hakkında düşündüğüm bir yol.
$$ V^TSV = V^T(SV) = V^T \begin{bmatrix} \lambda_1 \vec{v_1} & ... & \lambda_n \vec{v_n} \end{bmatrix} $$ Düşünmenin yolu $SV$ her sütun $V$ sütunlarını çarpan bir özvektördür $S$. Bu kombinasyonun özvektör tanımına göre neye eşit olacağını zaten biliyoruz.$A\vec{v} = \lambda\vec{v}$. Son olarak, sağ ile çarpıldığında$V^T$ bunu hatırla $\vec{v}_i^{\,T}\vec{v_j}=1$ dır-dir $1$ ne zaman $i=j$ ve $0$ ne zaman $i\neq j$ ortonormal vektörlerin tanımı gereği.
Açıkçası biz sonunda $\Lambda$ sonuç olarak.
Yanıtlar
Evet doğru $V^TSV = \Lambda$. Bunun neden geçerli olduğunu anlamanın birkaç yolu var; Bunun bir yolu, her bir matrisin ne yaptığını bir sütun vektörüyle karşılaştırmaktır.
İzin Vermek $\vec c$ sütun vektörünü göster $\vec c = (c_1,\dots,c_n)$. Doğrula$\Lambda \vec c = (\lambda_1 c_1,\dots,\lambda_n c_n)$.
Şimdi ürünü düşünüyoruz $V^TSV \vec c = V^T(S(V\vec c))$. Onu bulduk$$ V \vec c = \pmatrix{\vec v_1 & \cdots & \vec v_n} \pmatrix{c_1 \\ \vdots \\ c_n} = c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n. $$ İşleri başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, $V$ girişlerini yorumlamaktır $\vec c$ vektörlerin katsayıları olarak $\vec v_1,\dots,\vec v_n$. Oradan bunu görüyoruz çünkü her biri$v_i$ özvektördür $S$, sahibiz $$ S(V\vec c) = S(c_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \vec v_n) = c_1 \lambda_1 \vec v_1 + \cdots + c_n \lambda_n \vec v_n. $$ Son olarak, şunu unutmayın (çünkü $V$ ortogonaldir) $V^T$ tersidir $V$. Yani, aynen$V$ "giriş vektörünü", aşağıdaki katsayıların bir listesi olarak yorumlar $v_i$, $V^T$ bir vektör alır ve bize için katsayıların listesini verir $v_i$çıktı olarak. Yani,$$ V^T(S(V\vec c)) = (c_1 \lambda_1) \vec v_1 + \cdots + (c_n \lambda_n) \vec v_n = (c_1 \lambda_1,\dots,c_n \lambda_n). $$ Yani gerçekten $V^TSV$ ve $\Lambda$ aynı dönüşümü tanımlar ve bu nedenle aynı matristir.
Düşünebiliriz $V^TSV$ değiştirilmiş bir versiyonu olarak $S$ burada, bir vektörün girişlerini (hem girdi hem de çıktı) bir vektörün değişmez koordinatları olarak düşünmek yerine, bunları vektörlerimizin katsayıları olarak yorumluyoruz $v_i$. Daha önce duymuş olabileceğiniz terminoloji açısından şunu söylüyoruz:$\Lambda$ matrisidir $S$ "temel değişikliğinden sonra".