Bu integrali çöz $\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$

Question

Gösterelim

$$I_{m,n} = \int \sin^m{x} \cos^n{x}\ dx$$

nerede $m,n$ tamsayılardır (muhtemelen negatif veya sıfır).

Bazı iyi bilinen tekrarlayan formüller vardır. $I_{m,n}$

Yani ... örnek olarak bu belirli integrali çözmeye çalışıyordum

$$\int \frac{dx} {\sin^5{x}}$$

bu tekrarlayan formülleri kullanarak sonunda şu cevabı aldım
(hesaplamalar çok uzun değildi, sadece 1 veya 2 A4 sayfası):

$$F(x) = \frac{5}{8} \ln {|\tan \frac{x}{2}|} - \frac{5}{24} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^2{x}} - \frac{1}{6} \cdot \frac{\cos{x}}{\sin^4{x}}$$

Ama WA farklılaştığımda bana basit bir ifade vermiyor $F(x)$

Cevabım yanlış mı? WA dışında bir araçla nasıl kontrol ederim?

Nasıl doğrulanacağına dair bir fikrin var mı?

DÜZENLEME: Şimdi hesaplamalarımdaki sorunları düzelttim ve bu yanıtı alıyorum.

$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$

Ama yine de WA cevabıyla uyuşmuyor ...

WA cevabı

Burada hangisi doğru?

Answer 1

Bir yerde bir hata yaptın. Gönderen WA ve basitleştirmeleri sonra (ben ne elde) sahip olmalıdır:

$$\frac{3}{8}\ln|\tan(\frac{x}{2})|-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}$$

Bana bildirin!

---

Bence $24\ln|\tan(\frac{x}{2})|$ açık ve biz onu çarptık $\frac{1}{64}$ doğru terimi vermek için.

Ardından kalan terimleri (WA'dan) şu şekilde yeniden yazın:

$$\frac{1}{64}\big[-\frac{1}{\sin^{4}(\frac{x}{2})}-\frac{6}{\sin^{2}({\frac{x}{2})}}+\frac{1}{\cos^{4}(\frac{x}{2})}+\frac{6}{\cos^{2}({\frac{x}{2})}}\big]$$ $$=\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]+\frac{1}{64}\big[\frac{\sin^{4}(\frac{x}{2})-\cos^{4}(\frac{x}{2})}{\sin^4({\frac{x}{2})\cos^{4}(\frac{x}{2})}}\big].$$

Sonra kullanarak $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$ ve $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ ilk terim şöyle olur:

$$\frac{6}{64}\big[\frac{\sin^{2}(\frac{x}{2})-\cos^{2}(\frac{x}{2})}{\sin^2({\frac{x}{2})\cos^{2}(\frac{x}{2})}}\big]=-\frac{3}{32}\big[\frac{\cos(x)}{\frac{\sin^{2}(x)}{4}}\big]=-\frac{3}{8}\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.$$

Elimizdeki diğer terim için (pay formundadır $(A^2-B^2)=(A-B)(A+B)$):

$$-\frac{1}{64}\big[\frac{\cos^{2}(\frac{x}{2})-\sin^2({\frac{x}{2})}}{\frac{\sin^{4}(x)}{2^4}}\big]=-\frac{1}{4}\frac{\cos(x)}{\sin^{4}(x)}.$$

Answer 2

Kullanım $$\frac{1}{\sin^5x}dx=\frac{\sin{x}}{(1-\cos^2x)^3}dx=-\frac{d(\cos{x})}{(1-\cos^2x)^3}$$

Answer 3

Değişkenin basit bir şekilde değiştirilmesiyle rasyonelleştiriyorsunuz $t:=\cos x$:

$$\int\frac{dt}{(1-t^2)^3}.$$

Kısmi kesir ayrışması

$$\frac3{16(1+t)}-\frac3{16(1-t)}+\frac3{16(1+t)^2}+\frac3{16(1-t)^2}+\frac1{8(1+t)^3}-\frac1{8(1-t)^3}$$ ve zorluk çıkarmaz.

$$\frac3{16}\log(1-\cos^2x)-\frac3{8(1-\cos^2 x)}+\frac{1+\cos^2x}{8(1-\cos^2 x)^2}.$$

Answer 4

Wolfram Alpha sizinle aynı fikirde. Farklılaştırılmasını istediğiniz varsayılan ters türevi belirtirken katsayıları yanlış yazdınız. Bu götürdü parantez ile Bazı deney düzeltilmesi sorgu anlamak alır.

Answer 5

Başka bir yöntem önermek istiyorum: kosekant için indirgeme formülü (biliyorsunuz ki $1$ sinüs üstü kosekant fonksiyonudur):

$$\int \csc^m(x)\ \text{d}x = -\dfrac{\cos(x)\csc^{m-1}(x)}{m-1} + \frac{m-2}{m-1}\int \csc^{m-2}(x)\ \text{d}x$$

İki kez kullanın.

İşlem sırasında, iyi bilinen bir integral olan kosekantın kendisini entegre etmeniz gerekecektir:

$$\int \csc(x)\ \text{d}x = -\ln(\cot(x) + \csc(x))$$

Ve sonunda sonuç şudur:

$$-\frac{1}{64} \csc ^4\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{3}{32} \csc ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{64} \sec ^4\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{32} \sec ^2\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{3}{8} \log \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right)-\frac{3}{8} \log \left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$$