Bu sıra neden var?

Question

Stein ve Shakarchi'nin Gerçek Analiz Kitabı 3'ten aşağıdaki teoremi aldık: $H$ bir Hilbert alanıdır, $f \in H$, ve $S$ kapalı bir alt uzaydır $H$o zaman bir unsur var $g_0 \in S$ öyle ki $\|f-g_0\| = \inf_{g \in S}\|f-g\|$.

İspat izin vermekle başlar $d = \inf_{g \in S}\|f-g\|$ ve bir dizi düşünmek $\{g_n\} \subset S$ özelliği ile

$$\|f-g_n\| \rightarrow d \text{ as }n \to \infty $$

Neden böyle bir sekansın $\{g_n\}$var olmalıdır . Sezgim bana infimum'un epsilon karakterizasyonunu kullanmam gerektiğini söylüyor. Yani, eğer$A$ bir dizi gerçek sayıdır ve $d := \inf A$, sonra

$$\forall \epsilon > 0, \exists x \in A \text{ such that }x < d + \epsilon$$

Answer 1

Her biri için $n\in\mathbb{N}$ bir unsur olmalı $g_n\in S$ öyle ki $d\leq ||f-g_n||<d+\frac{1}{n}$bu gerçekten infimumun epsilon karakterizasyonundan kaynaklanır. Sıkıştırma teoremi ile$||f-g_n||\to d$.

Answer 2

Verilen $\epsilon > 0$, bulabiliriz $g\in S$ ile $||f-g|| < d + \epsilon$. Olmadığını varsayalım; o zaman herkes için$g \in S$, $||f-g|| \geq d + \epsilon$bu şu anlama geliyor $d + \epsilon$ alt sınırdır $\{||f-g|| \big| g \in S\}$. Fakat$d + \epsilon > d$beri bir çelişki $d$en büyük alt sınırdır.

Şimdi herhangi biri için $n$, Ayarlamak $\epsilon = 1/n$ ve yukarıdaki gerçeği kullanarak $g_n$ ile $||f-g_n|| < d + 1/n$. Dan beri$d \leq ||f - g_n||$ tanım gereği elimizde $||f-g_n||\rightarrow d$.