Bütünsel bir kimlik

Question

$\newcommand\la\lambda\newcommand\w{\mathfrak w}\newcommand\R{\mathbb R}$Sayısal uygulamalar ve diğer hususlar ( IID üstel değişkenlerin ortalama min ) düşündürmektedir
$$\int_\R \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}$$ için $u\in(0,1)$, temel değer anlamında anlaşılan integral ile. Ancak bunu Mathematica'nın yardımıyla bile kanıtlayamadım.

Bu nasıl kanıtlanabilir?

Answer 1

Karmaşık düzlemin üst yarısındaki konturu kapatırdım, temel değer alır $i\pi$ kalıntının katı$^\ast$ -de $t=0$, hangisi $u/(1-u)$. Başka kutup yok.$^{\ast\ast}$

$^\ast$ $\frac{1-e^{i t u}}{e^{i t u}-i t-1}=\frac{u}{1-u}+{\cal O}(t^2).$

$^{\ast\ast}$ kutuplar $t=i\tau$ ile $e^{-\tau u}+\tau=1$ (hariç $\tau=0$, pay tarafından iptal edilen); bunlar kalıyor$\tau<0$ hepsi için $u\in(0,1)$, yaklaşıyor $-2(1-u)$ için $u\rightarrow 1$.

---

Yorumlarda sayısal değerlendirmeyle ilgili bir sorun vardı. Bu türdeki ana değer integralleri, değiştirilerek daha doğru bir şekilde değerlendirilebilir$1/t$ tarafından $\frac{d\log |t|}{dt}$ve kısmi bir entegrasyon gerçekleştirme. Bu verir$$\int_{-\infty}^\infty dt\,\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{1}t= -2i\Im\int_{0}^\infty dt\,\ln|t|\frac{d}{dt}\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}.$$ Dava için $u=1/2$ Yorumlarda ele alındığında Mathematica, 3.1406 verir.

Answer 2

$\newcommand\eps\varepsilon$ Bunu göstermek istiyoruz, altında $R\to\infty$ ve $\eps\to 0+$, sahibiz $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)} \frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ Eşdeğer olarak, $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\left(\frac{1-e^{itu}}{e^{itu}-1-it}+1\right)\,\frac{dt}t=\pi i\,\frac u{1-u}+o(1).$$ Başka bir deyişle, $$\int_{(-R,-\eps)\cup(\eps,R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\pi\,\frac u{u-1}+o(1).$$ İntegrand, aşağıdakileri içeren açık bir kümede holomorfiktir $\{t\in\mathbb{C}:\text{$\ Im (t) \ geq 0$ and $t \ neq 0$}\}$dolayısıyla Cauchy'nin teoremine göre şunu göstermek yeterlidir $$\int_{\gamma(R)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=-\pi+o(1)\qquad\text{and}\qquad \int_{\gamma(\eps)}\frac{dt}{e^{itu}-1-it}=\frac{\pi}{u-1}+o(1),$$ nerede $\gamma(r)$ yarım daire içinde mi $\{t\in\mathbb{C}:\Im(t)\geq 0\}$ giden $r$ -e $-r$. Büyük için$r$, integrand üzerinde $\gamma(r)$ dır-dir $i/t+O(1/t^2)$. Küçük için$r$, integrand üzerinde $\gamma(r)$ dır-dir $-i/(t(u-1))+O_u(1)$. Sonuç aşağıdaki gibidir.

Answer 3

Bu, Carlo Beenakker'in integralin kutupları hakkındaki iddiasını detaylandırmak içindir. Farz et ki$t=x+iy$ böyle bir direk, nerede $x$ ve $y$Gerçek mi. Sonra$$1-y=e^{-uy}\cos ux,\quad x=e^{-uy}\sin ux.$$ Farz et ki $y>0$. Eğer$x=0$ sonra $1-y=e^{-uy}\ge1-uy$, Böylece $(u-1)y\ge0$, koşullarla çelişen $y>0$ ve $u\in(0,1)$. Yani,$x\ne0$ ve dolayısıyla $$\frac{\sin ux}{ux}=\frac{e^{uy}}u>1,$$ eşitsizlikle çelişen $\frac{\sin v}{v}\le1$ her şey için $v\ne0$.

Yani, $y\le0$.

Şimdi ise $y=0$ sonra $1=\cos ux$ ve dolayısıyla $x=\sin ux=0$.

Böylece tek kutup $x+iy$ ile $y\ge0$ dır-dir $0$.