Değişmeli cebirin ön sonucu

Question

Atiyah ve Macdonald'ın Değişmeli Cebire Giriş bölümündeki egzersiz 14'e (sayfa 12) bakıyorum :

A halkasında, bırak $\Sigma$her elemanın sıfır bölen olduğu tüm ideallerin kümesi olun. Olduğunu göstermektedir$\Sigma$ maksimal öğelere sahiptir ve her maksimal öğesi $\Sigma$ temel bir ideal.

Zorn'un lemmasını, tüm idealleri $A$kişi bunu ideallere uygulayabilir $\Sigma$ve maksimal elemanlara sahip olduğunu kanıtlayın. Ancak bu maksimal ideallerin nasıl asal olabileceğini anlamıyorum:$A$ (ve böylece içindeki her maksimal eleman $\Sigma$) maksimal bir idealde bulunur; bunun her maksimal elemanının$\Sigma$ maksimal idealin tüm sıfır bölenlerin idealiyle kesişimidir. $A$. İki idealin kesişimi olarak temel bir ideal elde edilemeyeceğine göre, bu saçmadır. Bu akıl yürütmede nerede yanılıyorum? Şimdiden teşekkürler

Answer 1

Tüm sıfır bölenler kümesinin bir ideal olduğuna inanmıyorum.

Örn. $k[x,y]/(xy)$ bu set $(x) \cup (y)$ ama örneğin, $x + y$ sıfır bölen değil.

Answer 2

İçinde ${\Bbb Z}/6{\Bbb Z}$, $2$ ve $3$sıfır bölenlerdir. Ancak,$3-2 = 1$ değil.