Eşdeğeri $\square_\kappa\Leftrightarrow\square'_\kappa$

Question

Devlin'de - Yapılandırılabilirlik, sayfa 158f. o tanımlar$\square_\kappa$ ve $\square_\kappa'$ ve sonra bu ikisinin eşdeğer olduğunu göstermeye devam eder.

$\square_\kappa$ bir dizi varsa tutar $(C_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\wedge\alpha\in\text{Lim})$ st

1. $C_\alpha$ bir kulüp $\alpha$,

2. $\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa\implies|C_\alpha|<\kappa$ ve

3. Eğer $\beta$ sınır noktası $C_\alpha$, sonra $C_\beta=\beta\cap C_\alpha$.

$\square_\kappa'$ bir dizi varsa tutar $(B_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\wedge\alpha\in\text{Lim})$ st

1. $B_\alpha$ kapalı bir alt kümesidir $\text{Lim}\cap\alpha$,

2. $\operatorname{cf}(\alpha)>\omega\implies B_\alpha$ sınırsız $\alpha$,

3. $\operatorname{otp}(B_\alpha)\leq\kappa$ ve

4. $\beta\in B_\alpha\implies B_\beta=\beta\cap B_\alpha$

Varsayalım ki $(B_\alpha\mid\alpha<\kappa^+\wedge\alpha\in\text{Lim})$ bir $\square_\kappa'$sonuç, tümevarımlı olarak tanımlar

1. $C_\alpha=\bigcup\lbrace C_\gamma\mid \gamma\in B_\alpha\rbrace$, Eğer $\sup B_\alpha=\alpha$

2. $C_\alpha=\bigcup\lbrace C_\gamma\mid \gamma\in B_\alpha\rbrace\cup\lbrace\theta_n^\alpha\mid n<\omega\rbrace$ başka nerede $\theta_n^\alpha$ kesinlikle artıyor, daha büyük $\sup B_\alpha$ve eş final $\alpha$.

Sonra diyor ki eğer $\operatorname{otp}(C_\alpha)>\kappa$ sonra $\operatorname{otp}(B_\alpha)>\kappa$ sadece çünkü $B_\alpha$ tüm sınır noktalarının kümesidir $C_\alpha$ altında $\alpha$ ve çünkü $\kappa$sayılamaz. Neden ki$\operatorname{otp}(C_\alpha)=\kappa+\omega$ ve $\operatorname{otp}(B_\alpha)=\kappa$mümkün değil? Belki burada sadece aptal davranıyorum.

Belki de artık o kadar uzun olmadığı için kanıtın geri kalanını belirtmek yararlıdır.

Eğer $\kappa$ düzenli mi buna ihtiyacımız var $\operatorname{otp}(B_\alpha)\leq\kappa$, çünkü o zaman bunun eşit olduğunu ve bir çelişkiye sahip olduğunu varsayabiliriz, o zamandan beri, eğer $\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa$ sonra $\operatorname{cf}(\kappa)\leq\operatorname{cf}(\alpha)<\kappa$. (Yani belki bu durumda kullanırız

3 '. $\operatorname{otp}(B_\alpha)\leq\kappa$ ve eğer $\operatorname{cf} (\alpha)=\omega$ sonra $\operatorname{otp}(B_\alpha)<\kappa$

İlk tanımda 3. yerine.)

Tekil durumda, bir dizi tanımlarız $(C_\alpha'\mid\alpha<\kappa^+)$ aşağıdaki gibi.

İzin Vermek $(\theta_\nu\mid\nu<\operatorname{cf}(\kappa))$ kesin olarak artan, sürekli bir dizi limit sıra sıralaması, $\kappa$. Ayarlamak$\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)}=\kappa$. (Ve bence biri ayarlanabilir$\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+n}=\kappa+n$ hepsi için $n<\omega$ ve $\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+\omega}=\kappa+\omega$) Şimdi izin ver

$C_\alpha'=\lbrace\gamma\in C_\alpha\mid\operatorname{otp}(C_\alpha\cap\gamma)\geq\theta_\nu\rbrace$,

eğer varsa $\nu<\operatorname{cf}(\kappa)$ st $\theta_\nu<\operatorname{otp}(C_\alpha)\leq\theta_{\nu+1}$. Aksi takdirde$\operatorname{otp(C_\alpha)}=\theta_\nu$ bir limit için $\nu$sonra ayarladık

$C_\alpha'=\lbrace\gamma\in C_\alpha\mid(\exists\tau<\nu)\operatorname{otp}(C_\alpha\cap\gamma)=\theta_\tau\rbrace$

Sonra $(C_\alpha'\mid\alpha<\kappa^+)$ bir $\square_\kappa'$-sıra (ve bence bu hala geçerli $\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+n}$ ve $\theta_{\operatorname{cf}(\kappa)+\omega}$ tanımlı).

Devlin sadece kullandığından $\square_\kappa'$ bunu göstermek için $\square_\kappa$ tutar $L$, bence tanımından 3. değiştirmenin uygun olacağını düşünüyorum. $\square_\kappa'$ normal durumda 3 'e kadar, çünkü bu kanıtta sopalar alıyoruz $B_\alpha$ sipariş türü olan $\leq\kappa$ ve eğer $\kappa$ normalse 3 'almalıyız.

Sorum şu, burada belirtilen her şey doğru mu?

Answer 1

Eğer $\operatorname{otp}(C_\alpha)=\kappa+\omega$, sonra $\operatorname{otp}(\operatorname{acc}(C_\alpha))=\kappa+1$ ve $\operatorname{acc}(C_\alpha)=B_\alpha$. Bu yüzden Devlin'in söylediği şeyin doğru olduğunu düşünüyorum.