Eşleme $f(z)$

Question

Bırak işlevi $f$ karmaşık düzlemde analitik, gerçek eksende gerçek, başlangıçta 0 ve aynı sıfır değil.

Kanıtla, eğer $f$ hayali ekseni düz bir çizgiye eşler, bu durumda bu düz çizgi gerçek eksen veya sanal eksen olmalıdır.

Benim gayretim: $f(z)$ analitik değil $g(z)= \overline{f(\bar z)}$ aynı zamanda analitiktir.$f(z)$ rastlamak $g(z)$gerçek eksende. Sırayı düşünün${1/n}$sıfıra yakınsar. Şimdi, kimlik teoremini kullanarak şu sonuca varabiliriz:$f(z)=g(z)$ karmaşık düzlem üzerinde. $g(z)$ hayali ekseni hayali eksene eşler ve bu nedenle $f(z)$. Ne zaman anlayamıyorum$f$ hayali ekseni gerçek eksene eşler.

Answer 1

İzin Vermek $k \ge 1$ sıfırın sırası $f$başlangıçta; analitik işlevin yerel biçimi ile$0$, yani, $f(z)=cz^k+O(z^{k+1}), c \ne 0$hemen ardından gelir $f$ açıyı dönüştürür $\theta$ başlangıç ​​noktasından geçen herhangi iki eğri arasında açıya $k\theta$ (özellikle $f$ tam olarak kökeninde uyumludur $k=1$)

Gerçek ve sanal eksen arasındaki açı $\pi/2$görüntüleri arasındaki açı $k\pi/2$, bu nedenle hipotez yoluyla, hayali eksen bir $k\pi/2$ bir tamsayı için gerçek eksenle açı $k \ge 1$ ve bu türden yalnızca iki çizgi vardır; sanal ve gerçek eksen $k$ tuhaf veya çift, yani işimiz bitti.

$z^2, z^4$ hipotezi karşılayan ve sanal eksenin gerçek eksene gönderildiği örneklerdir (bir durumda iki görüntü, sıfırın iki yarım çizgi olması dışında ayrıktır ve diğerinde çakışırlar - gerçek eksenin görüntüsünün veya altında hayali eksen $f$ gönderildiği tam satırda olmayabilir) $z$ kendisine gönderildiği bir örnektir