Hamiltoniyeni köşegenleştiren dönme
Şu soruya rastladım:
Hamiltoniyen bir spin verildiğinde-$1/2$ parçacık $$\hat{H}=\epsilon\begin{pmatrix} 0 & -e^{i\pi/4}\\ -e^{-i\pi/4} & 0 \end{pmatrix} = \frac{2\epsilon}{\hbar} \vec{S} \cdot \frac{\hat{y}-\hat{x}}{\sqrt{2}}$$
köşegenleştiren dönüş dönüşümü nedir $\hat{H}$? Dönme açısını bulun$\theta$ ve dönme ekseni $\hat{n}$.
Köşegenleştiren matrisi bulmak $\hat{H}$özellikle zor değil. Örneğin,
$$U=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1+i}{\sqrt{2}}\\ \frac{1-i}{\sqrt{2}} & 1 \end{pmatrix}$$
işi yapar. Ancak daha sonra bu matrisin bir açıdan bir dönüşüme karşılık geldiği iddia edilir.$\theta=\pi/2$ hakkında $\hat{n}=(\hat{x}+\hat{y})/\sqrt{2}$. Ancak, şu adresin girdilerinden bunun nasıl hemen çıkarılabileceğinden tam olarak emin değilim$U$. Üstelik öyle düşünmüyorum$U$ toplamına ayrıştırılabilir $\sigma_x$ ve $\sigma_y$Pauli matrisleri. Doğrudan hesaplamayı düşündüm$\mathcal{D(\hat{n},\theta})=\exp\left[-\frac{i}{\hbar}\vec{S}\cdot \left(\frac{\hat{x}+\hat{y}}{\sqrt{2}}\right)\right]$ (dönüş operatörü) ile çakışıp çakışmadığını kontrol etmek için $U$ilgili temelde, ancak çok yorucu görünüyor. Belki de önemsiz bir şeyi özlüyorum?
Yanıtlar
Sadece standart kullanmak Pauli matrislerinin üs bilerek$\vec S =\hbar \vec \sigma /2$ dönüş açılarını yarıya indiren ikili gösterim için, $$ e^{-i{\pi\over 4}\vec \sigma \cdot { (\hat x + \hat y) \over \sqrt{2}} } = \cos (\pi /4) -i \vec{\sigma}\cdot \frac{(\hat x +\hat y)} {\sqrt{2}} ~ \sin (\pi/4)\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (I -i(\sigma_x+\sigma_y)/\sqrt{2})=U. $$
Euler'in formülüne benzer.
Pauli matrislerinin özelliklerini kullanarak köşegenleştirme cebirini yaptığınızı anladım: hemen hemen hiç hesaplama!
- İki ortogonal birim vektörü düşünmek sezginize yardımcı olabilir. $\hat y \pm \hat x$ ve ikinciyi birincinin etrafında dik açıyla döndürmek için: sizi yanınızda götürecek $\hat z$yani köşegen $\sigma_z$. Tersine, bilmek$\sigma_z$ tek köşegen Pauli matrisidir, nasıl döndürürsünüz $\hat y - \hat x$ -e $\hat z$? Açıkçası, bir eksen olarak çapraz çarpımları etrafında bir π / 2 dönüşü ile! Şekli çizin.
REFERANS: Hamiltoniyen'in koordinat çerçevesini döndürdükten sonra nasıl değiştiği konusundaki cevabım .$\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$
Not: Aşağıda koordinat eksenleri boyunca birim vektörler için $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ Sembolleri kullanıyorum $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ sırasıyla. $\boldsymbol{=\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!==\!=\!=\!=}$
Hamiltoniyen aşağıdaki izsiz münzevi matristir
\ begin {equation} H \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ sigma_ {y} \ boldsymbol {-} \ mathrm \ sigma_ {x} \ right) \ ,, \ quad \ alpha \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2} \ epsilon} {\ hbar} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} Hermit izsiz matrisler ve gerçek 3-vektörler arasındaki bağlantıdan (tartışılmıştır Yukarıda bahsedilen REFERANS'ın '' mantığı '' paragrafında ) bu Hamiltoniyen'in temsili gerçek 3-vektörü \ begin {equation} \ mathbf {h} \ boldsymbol {=} \ alpha \ left (\ mathbf {j} \ boldsymbol { -} \ mathbf {i} \ right) \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} Şekil-01'de gösterildiği gibi.
Hamiltoniyen $H'$ \ eqref {01} denkleminin köşegen olana dönüştürülmesi gerekir $H'$o zaman \ begin {equation} H '\ boldsymbol {=} c \, \ sigma_ {z} \ ,, \ quad c \ in \ mathbb {R} \ tag {03} \ label {03} \ end { equation} Yukarıdaki ifade haklı çünkü sadece$\sigma_{z}$ köşegen bir münzevi matristir, ancak ayrıca izsizdir ($H'$ iz, benzerlik dönüşümleri altında değişmez olduğundan izsiz olmalıdır).
Dönüştürülmüş çapraz münzevi izsiz matrise $H'$temsili bir gerçek 3-vektör var karşılık {denklem} \ mathbf {h '} \ boldsymbol = {} C \, \ mathbf {k} \ etiketi {04} \ etiketi {04} \ end {denklem} başlar \ dönüşüm halinde bir dönüş olmalı sonra vektör$\mathbf{h'}$ denklemin \ eqref {04} vektörün görüntüsü olacak $\mathbf{h}$denklemin \ eqref {02} öyleyse \ begin {equation} \ Vert \ mathbf {h '} \ Vert \ boldsymbol {=} \ Vert \ mathbf {h} \ Vert \ quad \ boldsymbol {\ Longrightarrow} \ quad c \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ a \ etiketi {05} \ etiketi {05} \ end {denklem} olmasıdır\begin{align} H'&\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\sigma_{z} \tag{06a}\label{06a}\\ \mathbf{h'} &\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k} \tag{06b}\label{06b} \end{align} Şekil-01'de gösterildiği gibi.
Vektörü getiren en basit dönüş $\mathbf{h}$ vektörde $\mathbf{h'}$ birim vektör etrafında $\mathbf{n}$ bir açıdan $\theta$ veren \begin{align} \mathbf{n}&\boldsymbol{=}\dfrac{\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}}{\sqrt{2}} \tag{07a}\label{07a}\\ \theta &\boldsymbol{=}\dfrac{\pi}{2} \tag{07b}\label{07b} \end{align}Şekil-01'de gösterilmiştir. Bu dönüş aşağıdaki özel üniter matris ile temsil edilir$SU(2)$ \ begin {denklem} \ kutulu {\: \: U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} \ cos \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {-} i (\ mathbf {n } \ boldsymbol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ theta} {2} \ boldsymbol {=} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {- } i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b }}} \: \:} \ etiket {08} \ etiket {08} \ end {denklem}
Pauli matrislerinin özellikleri kullanılarak kolaylıkla doğrulanabilir. $U_{\mathbf{n} ,\theta}$ Hamiltoniyeni köşegenleştirir $H$, bu \ begin {equation} U _ {\ mathbf {n}, \ theta} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {n}, \ theta} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 09} \ label {09} \ end {equation} veya açıkça \ begin {equation} \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {-} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}} \ right) \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}}} \ right) \, \ dfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (I \ boldsymbol {+} i \, \ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt { 2}} \ right) \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag {10} \ label {10} \ end {equation}
Vektörü getiren sonsuz sayıda döndürme olduğundan $\mathbf{h}\boldsymbol{=}\alpha\left(\mathbf{j}\boldsymbol{-}\mathbf{i}\right)$ \ eqref {02} denkleminin vektöre $\mathbf{h'}\boldsymbol{=}\sqrt{2}\,\alpha\,\mathbf{k}$ denklemin \ eqref {06b} olduğu için, Hamiltoniyeni köşegenleştiren \ eqref {08} denklemindeki gibi sonsuz sayıda birim matris vardır. $H\boldsymbol{=}\alpha\left(\sigma_{y}\boldsymbol{-}\mathrm \sigma_{x}\right)$denklemin \ eqref {01}. Örneğin, bir birim vektör etrafında bir dönüş$\mathbf{m}$ bir açıdan $\phi$ veren \begin{align} \mathbf{m}&\boldsymbol{=}\dfrac{\boldsymbol{-}\mathbf{i}\boldsymbol{+}\mathbf{j}\boldsymbol{+}\sqrt{2}\mathbf{k}}{2} \tag{11a}\label{11a}\\ \phi &\boldsymbol{=}\pi \tag{11b}\label{11b} \end{align}Şekil-02'de gösterildiği gibi Hamiltoniyeni köşegenleştirir. Karşılık gelen özel üniter matris, \ begin {equation} \ boxed {\: \: U _ {\ mathbf {m}, \ phi} = \ cos \ frac {\ phi} {2} -i (\ mathbf {m} \ kalın sembol {\ cdot} \ boldsymbol {\ sigma}) \ sin \ frac {\ phi} {2} = \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right ) \ vphantom {\ dfrac {\ dfrac {a} {b}} {\ dfrac {a} {b}}} \: \:} \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} Yine Pauli matrislerinin özellikleri kullanılarak kolayca doğrulanabilir,$U_{\mathbf{m} ,\phi}$ Hamiltoniyeni köşegenleştirir $H$, bu \ begin {equation} U _ {\ mathbf {m}, \ phi} \, H \, U ^ {*} _ {\ mathbf {m}, \ phi} \ boldsymbol {=} H '\ tag { 13} \ label {13} \ end {equation} veya açıkça \ begin {equation} \ left [\ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ right] \, \ left (\ sigma_y \ boldsymbol {-} \ sigma_x \ vphantom {\ dfrac {\ sigma_x \ boldsymbol {+} \ sigma_y} {\ sqrt {2}}} \ right) \, \ left [\ kalın sembol {-} \ dfrac {i} {2} \ left (\ sigma_x- \ sigma_y- \ sqrt {2} \ sigma_z \ right) \ right] \ boldsymbol {=} \ sqrt {2} \, \ sigma_z \ tag { 14} \ etiket {14} \ end {denklem}
