Latekste hesaplama özetleri

Question

Biri bana yardım edebilir mi lütfen? Sadece Lateks komutlarını kullanarak 1 + 1/2 + 1/3 + ... 1 / n (n verilen) toplamını hesaplamam gerekiyor. Bunu nasıl yapacağım hakkında hiçbir fikrim yok. Çok teşekkürler.

Answer 1

En iyi hassasiyet için, bu hesaplamayı l3fpyerine kullanarak gerçekleştirmenizi öneririm pgfmath. İki işlev öneriyorum \mySetToSumve \mySetToSumAlt. Her ikisi de aynı argümanları kabul eder ve toplamı kullanarak hesaplar l3fp. Aradaki fark, yuvarlatılmış sonucu ilk argümanlarına nasıl yazdıklarıdır:

• \mySetToSum hesaplanan toplamı üçüncü bağımsız değişkeninde verilen ondalık basamakların sayısına göre yuvarlar, ardından varsa sondaki sıfırları atar;

• \mySetToSumAlt aynı şeyi yapar ancak sonunda sıfırlar tutar.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}            % only for the sample text with \dotsb
\usepackage{xparse}             % not necessary with recent LaTeX (Oct. 2020)
\usepackage{xfp}                % only for \fpeval (demo code)
\usepackage{pgfmath}            % for printing the result with a fixed number
                                % of decimal places (used in \mySetToSumAlt)
\ExplSyntaxOn

\cs_new_protected:Npn \angelo_set_to_sum:Nn #1#2
  {
    \fp_zero_new:N #1
    \int_step_inline:nn {#2} { \fp_add:Nn #1 { 1/##1 } }
  }

\fp_new:N \l__angelo_result_fp

% Document-level interface
% #1: control sequence that will receive the result
% #2: value of n
% #3: round the result to this number of decimal places
\NewDocumentCommand \mySetToSum { m m m }
  {
    % Compute the sum with l3fp; put the result in \l__angelo_result_fp.
    \angelo_set_to_sum:Nn \l__angelo_result_fp {#2}
    % Set #1 to the result after rounding.
    \tl_set:Nx #1 { \fp_eval:n { round(\l__angelo_result_fp, #3) } }
  }

% Same macro, but uses \pgfmathprintnumberto in order to always write the
% specified number of decimal places, even if this means printing trailing
% zeros.
\NewDocumentCommand \mySetToSumAlt { m m m }
  {
    \angelo_set_to_sum:Nn \l__angelo_result_fp {#2}
    % Set #1 to the result after rounding.
    \pgfmathprintnumberto[fixed~zerofill, precision={#3}]
      { \fp_eval:n { \l__angelo_result_fp } } {#1}
  }
\ExplSyntaxOff

\begin{document}

% Use n = 60 and round to 6 decimal places.
\mySetToSum{\result}{60}{6}%
% Ditto, but keep trailing zeros, if any.
\mySetToSumAlt{\resultWithTrailingZeros}{60}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{60}
   \approx \resultWithTrailingZeros \approx \result \]
Approximation of the Euler–Mascheroni constant:
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{60} - \ln(60) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(60), 6)} \]
%
% Now use n = 100
\mySetToSum{\result}{100}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{100} - \ln(100) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(100), 6)} \]
%
% Now use n = 200
\mySetToSum{\result}{200}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{200} - \ln(200) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(200), 6)} \]
%
% Now use n = 1000
\mySetToSum{\result}{1000}{6}%
\[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dotsb + \frac{1}{1000} - \ln(1000) \approx
    \fpeval{round(\result - ln(1000), 6)} \]
According to Wikipedia, the value of this constant is close to $0.57722$.

\end{document}

Answer 2

İşte LuaLaTeX tabanlı bir çözüm.

% !TEX TS-program = lualatex
\documentclass{article}
\directlua{%

  function harmonic ( n )
     local h=0
     for i=1,n do h=h+1/i end
     return h
  end

} 
%% LaTeX macro to access the Lua function:
\newcommand\harmonic[1]{\directlua{tex.sprint(harmonic(#1))}}
\newcommand\difference[1]{\directlua{tex.sprint(harmonic(#1)-math.log(#1))}}

\begin{document}

The value of the tenth harmonic number is \harmonic{10}.

\medskip
\begin{tabular}{@{} rll @{}}
\hline
$n$ & harmonic($n$) & harmonic($n$)${}-\ln(n)$\\
\hline
1 & \harmonic{1}   & \difference{1}    \\
10 & \harmonic{10}  & \difference{10}   \\
100 & \harmonic{100} & \difference{100}  \\
1000 & \harmonic{1e3} & \difference{1e3}  \\
10000 & \harmonic{1e4} & \difference{1e4}  \\
100000 & \harmonic{1e5} & \difference{1e5}  \\
1000000 & \harmonic{1e6} & \difference{1e6}  \\
10000000 & \harmonic{1e7} & \difference{1e7}  \\
100000000 & \harmonic{1e8} & \difference{1e8}  \\
\hline
\end{tabular}

\medskip
Euler-Mascheroni constant${}\approx 0.5772156649$.
         
\end{document}

Answer 3

Çok sınırlı aritmetik yeteneklerden dolayı, sadece TeX yöntemleriyle hızlı hesaplamalar elde etmenin aslında hiçbir yolu yoktur.

Aşağıdaki çözüm, harmonik toplamlarının değerlerini 5000'e kadar saklar, bu nedenle doğrusal zamanda kullanılabilirler. 5000'in ötesinde, hesaplama süresi çok uzar.

\documentclass{article}
\usepackage{booktabs}
%\usepackage{xparse} % not necessary with LaTeX 2020-10-01 or later
\usepackage{xfp} % for \fpeval

\ExplSyntaxOn
% store the values of H_n in an array (up to 5000)
\fparray_new:Nn \g_aliano_harmonic_fparray { 5000 }
% initialize
\fparray_gset:Nnn \g_aliano_harmonic_fparray { 1 } { 1 }
% at each step add the reciprocal of the next number
\int_step_inline:nn { 5000-1 }
 {
  \fparray_gset:Nnn \g_aliano_harmonic_fparray { #1+1 }
   {
    \fparray_item:Nn \g_aliano_harmonic_fparray { #1 } + 1/(#1+1)
   }
 }
% this retrieves the value, rounding it to 5 decimal digits
\NewExpandableDocumentCommand{\harmonic}{m}
 {
  \fp_eval:n { round(\fparray_item:Nn \g_aliano_harmonic_fparray { #1 },5) }
 }
\ExplSyntaxOff

\begin{document}

\begin{tabular}{@{}rll@{}}
\toprule
\multicolumn{1}{@{}c}{$n$} &
\multicolumn{1}{c}{$H_n$} &
\multicolumn{1}{c@{}}{$H_n-\log n$} \\
\midrule
1    & \harmonic{1}    & \fpeval{round(\harmonic{1}-ln(1),5)} \\
10   & \harmonic{10}   & \fpeval{round(\harmonic{10}-ln(10),5)} \\
100  & \harmonic{100}  & \fpeval{round(\harmonic{100}-ln(100),5)}\\
1000 & \harmonic{1000} & \fpeval{round(\harmonic{1000}-ln(1000),5)}\\
5000 & \harmonic{5000} & \fpeval{round(\harmonic{5000}-ln(5000),5)}\\
\bottomrule
\end{tabular}

\end{document}

Daha fazla terime ihtiyacınız varsa, LuaTeX'i kullanmak tek hızlı alternatif gibi görünüyor. Belki bu, PythonTeX ile yeterince hızlı bir şekilde yapılabilir.