Manifoldlar Borel setleridir

Question

Düşünmek $M\subseteq \mathbb{R}^n$, bir (gömülü) $C^{k\geq 1}$ manifold.

Dır-dir $M$ Borel?

Evet düşünüyorum ama bunu kanıtlamakta takılıp kaldım. Bazı bağlamlar için, Hausdorff ölçülerine göre manifoldlar üzerindeki integrallerin mantıklı olduğunu kontrol ediyordum.

Benim denemem:

1. Sürekli fonksiyonların grafikleri Borel'dir: let $U$ açık ol ve $f:U \rightarrow \mathbb{R}^q$sürekli olun. İzin Vermek$\phi(x)=(x,f(x))$, sürekli bir işlev. Yazabiliriz$U=\bigcup_n K_n$ bazı kompakt setler için $K_n \subseteq U$ ve bu nedenle $\text{graf}f=\phi(U)=\bigcup_n\phi(K_n)$, böylece grafiği $f$ kompakt (dolayısıyla Borel) kümelerin sayılabilir birleşimidir.
2. Bir manifold, "sayılabilir şekilde yerel" bir grafiğin grafiğidir. $C^k$ işlev: bununla şunu kastediyorum $M$ bazılarının grafiklerinin sayılabilir birleşimidir $C^k$fonksiyonlar. Burada sıkıştım. bunu biliyorum$M$yerel olarak bir grafik, ancak sayılabilirlik özelliğini alamıyorum. Rasyonellerin yoğunluğunu gerçek sayılarda kullanmayı düşünüyordum ama bunun doğru olup olmadığından emin değilim, çünkü ikinci sayılabilirlikten de emin değilim.$M$ manifold tanımımla garantilidir (aşağıya bakın).

İddiamın doğru olması koşuluyla, 2. noktayı nasıl geçeceğiniz konusunda herhangi bir ipucunuz var mı?

---

$M\subseteq \mathbb{R}^n$ gömülü $C^{k\geq 1}$ $m-$manifold eğer her biri için $p$ içinde $M$ var $U\subseteq \mathbb{R}^m$ aç ve $\phi:U\rightarrow M$ sınıfın $C^{k}$ öyle ki:

• $\phi(U)$ mahalle $p$, açılmak $M$
• $\phi$ imajına bir homeomorfizmdir
• $d\phi$ her yerde enjekte edici

Answer 1

$\bullet$ $\mathbb R^n$ sayılabilir bir temele sahip ikinci sayılabilir $B$ rasyonel yarıçapları ve merkezleri olan tüm toplar tarafından verilir.

$\bullet$ İkinci sayılabilir boşlukların alt uzayları ikinci sayılabilir: $Y\subseteq X$ ve $B$ sayılabilir bir temeldir $X$, sonra $\{U\cap Y: U\in B\}$ sayılabilir bir temeldir $Y$.

$\bullet$İkinci sayılabilir boşluklar Lindelöf'tür: Herhangi bir açık kapak, sayılabilir bir alt kapak kabul eder (örneğin buraya veya buraya bakınız ).

Yani gömülü bir altmanifold $M$ nın-nin $ \mathbb R^n$ ispatınızı tamamlayan sürekli bir fonksiyonun "sayılabilir şekilde yerel" grafiğidir.