Möbius işleviyle ilgili bir matris

Question

Matrisi düşünün $A_n$ pozitif tamsayılar için tanımlanmış $n$ ayarlayarak $(i,j)$inci giriş $1$ Eğer $j$ böler $i$, ve $0$ aksi takdirde, için $1\leq i,j\leq n$. Örneğin,$$A_6=\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0\\1&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&1&0\\1&1&1&0&0&1\end{bmatrix}.$$ Bu matrisin ilginç özelliği vardır: $\det A_n=1$ hepsi için $n$ (daha düşük bir üçgen matris olduğundan) ve bunun tersi açıkça sahip olarak tanımlanabilir $(i,j)$giriş eşittir $\mu(j/i)$ Eğer $i\mid j$, ve $0$ aksi halde nerede $\mu$olduğu möbius fonksiyonu . Bu gerçek kolayca möbius tersine dönmesine eşdeğer olarak görülebilir .

S. Bu matrisin bir adı var mı? Bu, özelliklerinin iyi çalışılabileceği (olması gereken?) Yeterince temel bir matris gibi görünüyor, ancak özel bir adı varsa, daha fazlasını bulmak için hangi anahtar kelimeleri arayacağımı bilmiyorum.

Answer 1

Bu matris, komşuluk matrisi poşet içinde$P$ arasındaki tam sayı $1$ ve $n$(dahil) bölüm altında, yönlendirilmiş bir grafik olarak kabul edilir. Sungjin'in yorumlarda belirttiği gibi, matris cebirinin alt cebiri olarak düşünebileceğiniz olay cebirinin içinde yer alır.$\text{End}(k[P])$Yönlendirilmiş grafiğin kenarları tarafından oluşturulur ve insidans cebiri terminolojisinde buna poset'in zeta fonksiyonu, tersi ise poset'in Mobius fonksiyonu olarak adlandırılır . Zeta işlevi ile çarpma ve sıradan Mobius ters çevirme yanı sıra dahil etme-dışlama ve diğer eğlenceli şeyler konusunda uzmanlaşmış Mobius işlevi ile çarpma ile ilgili bir Mobius ters çevirme genellemesine sahibiz.

(Yukarıda verdiğim insidans cebirinin tanımı, yalnızca sonlu posetler için olağan tanıma eşdeğerdir. Sonsuz durumda yazabileceğiniz en az iki farklı cebir vardır ve olağan olan, poset'in yerel olarak sonlu olmasını gerektirir. Yazdığım biri böyle bir gereklilik sağlamaz, ancak daha az unsur içerir.)

Biraz daha genel olarak, bir (küçük) kategorinin kategori cebirini tanımlayabilirsiniz.$C$ özgür olmak $k$-modülün morfizmleri $C$, kompozisyon tarafından verilen kompozisyon ile $C$tanımlanmışsa veya aksi takdirde sıfır. Bu yapı, olay cebirini (posetlerin kategoriler olarak düşünülmesi) ve aynı zamanda grup cebirlerinin inşasını genelleştirir. (Yine, sonlu durumda ve yine sonsuz durumda yazabileceğiniz en az iki farklı cebir vardır.)$C$ Sonlu sayıda morfizmaya sahiptir, tüm morfizmlerin toplamı tarafından verilen bir zeta fonksiyonunu tekrar düşünebilirsiniz ve bu elementin tersi varsa buna Mobius fonksiyonu denir. $C$. Örneğin, Tom Leinster'ın Mobius'un Tersine Çevirme Kavramları'na bakın .