Nedir $a$ Tayor serisinde?

Question

Bu yüzden, ilk (çevrimiçi) üniversite dönemimden önce kendi başıma biraz Matematik II öğrenmeye çalışıyorum. Taylor ve güç serilerini şu anda Paul'un matematik notlarıyla çalışıyorum .

Yazarın güzel bir şekilde ana hatlarını çizdiği gibi kuvvet serilerinin katsayılarını nasıl elde edeceğimi anlasam da, değişkenin ne olduğu konusunda kafam karıştı.$a$'şunu temsil eder:

Dır-dir '$a$'sadece yakın bir değer'$x$'? Öyleyse neden?

Formülün özellikle iddia $f(x)$ yukarıdaki Taylor serisi $f(x)$ hakkında $x = a$. Birisi bunun ne anlama geldiğini açıklayabilir mi?

Bunu bilmek faydalı olacaktır çünkü daha sonra Maclaurin serisini a = 0 ve x = 0 hakkında Taylor serisi olarak tanıtmaya çalışırlar ...

Herhangi bir rehberlik tamamen takdir edilmektedir!

Answer 1

Taylor Serisinin bir işlevi genişletme fikri, bir noktaya değinmektir. $a$ve bu noktada işlev hakkında bilgi alın. Bu bilgi, o noktadaki fonksiyonun değerini ve fonksiyonun bu belirli noktada nasıl "değiştiğini" içerir (bu nedenle türevler dahil edilmiştir). Daha sonra bu bilgiyi işlevi bir (potansiyel olarak sonsuz) polinom aracılığıyla "kopyalamak" için kullanırız.

Sonuçta, değerinin ne olduğunu seçmelisiniz. $a$almak istiyor musun Eğer${a=0}$ - o noktada fonksiyon hakkında bilgi alıyoruz ${x=0}$.

Bunu not et "$a$ yakın bir nokta olmak $x$"bu bağlamda bir anlam ifade etmiyor, çünkü $a$sabit, statik bir değişken olacaktır. Demek istediğim, değerini seçmen$a$ önce , sonra ilgilendiğiniz polinomu elde edersiniz - ve$x$sadece bir serbest değişkendir. Örneğin, bazı işlevleri genişletmek istersem${f(x)}$ hakkında ${x=5}$, Yazardım

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(x-5)^n}{n!}}$$

Hesaplamak istiyorsan ${f(20)}$sen anladın

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(5)(20-5)^n}{n!}}$$

Ayrıca genişleyebilirim diyebilirim ${a=3}$ ve Al:

$${f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(x-3)^n}{n!}}$$

Dolayısıyla da

$${f(20)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(3)(20-3)^n}{n!}}$$

( yine de bazı koşullar sağlandı ).