Normal paket ve patlama

Question

Karmaşık projektif uzay üzerinde çalışalım: pürüzsüz bir çeşitlilik düşünün $X$ ve bir alt çeşitlilik $Y$. Bunu öğrendim, eğer patlatırsak$X$ merkez ile $Y$yeni bir çeşit elde ediyoruz $\tilde{X}$bir harita ile birlikte $\pi: \tilde{X}\to X$istisnai lokus dışında bir izomorfizm olan $Y$.

Kesin bir referansım olmasa da, bana istisnai böleninin $Y$bu ters görüntü $\pi^{-1}(Y)$, normal paketin yansıtmalı demeti ile çakışır, yani

$$\tilde{Y}=\pi^{-1}(Y)\simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X}^\vee)=(\mathcal{N}_{Y\mid X}\setminus Y)/\sim,$$

nerede $\sim$ standart eylemdir $\mathbb{C}$.

Sorular:

• Bu yapının iyi bir referansı nedir? Bunun Hartshorne Cebirsel geometrisinin Teorem II.8.24'ün içeriği olduğunu biliyorum, ancak şema teorisi (ve projelendirme ve uyumlu kasnaklar) bilgisi olmadan biraz zor, bu yüzden belki daha erişilebilir bir metin var;
• Bu notların 86-87. Sayfalarında ( https://www.math.ens.fr/~debarre/M2.pdf ), rasyonel bir eğri ile başlıyoruz $\Gamma^+$ içinde $X^+$ normal paket ile $\mathcal{O}(-1)\oplus\mathcal{O}(-2)$: sonra yazarlar patlamayı birlikte yapar $\Gamma^+$ve istisnai bölenin $$S^+_1=\mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus \mathcal{O}(1))$$ ancak yukarıdaki formüllerin kullanılması $\mathbb{P}(\mathcal{O}(1)\oplus \mathcal{O}(2))$: Neyi kaçırıyorum?

Answer 1

İfadenizde bir hipotez eksik: bizim de ihtiyacımız var $Y$tekil olmamak. Her neyse, alternatif bir referans Vakil'in "The Rising Sea: Foundations of Cebebraic Geometry" adlı bölüm 22.3'tür ve genellikle Hartshorne'dan daha erişilebilir bir referans olarak kabul edilir. Vakil, istediğiniz ifadenin kanıtını vermez - Egzersiz 22.3.D'dir - ancak alıştırmanın öncüsü, bunu nasıl kanıtlayacağınıza dair bazı yararlı rehberlik sağlayabilir.

Ne yazık ki, bu ifade için şemaların dilini, Proj yapısını ve yarı evreli kasnakları en azından bir dereceye kadar kullanmayan bir referansın farkında değilim.

İkinci sorunuza cevap vermek için, iki projektif demet izomorfiktir, çünkü projektif demetler, bir çizgi demeti ile tensör yaparsanız değişmez. Bu, Vakil'in notlarındaki 17.2.G egzersizi ve Hartshorne'daki Lemma II.7.9. Genel açıklama için bir başka referans ise Stacks Project, etiket 02NB'dir . Özellikle herkes için$c \in \mathbb{Z}$, sahibiz $$\mathbb{P}(\mathcal{O}(a) \oplus \mathcal{O}(b)) \cong \mathbb{P}(\mathcal{O}(a + c) \oplus \mathcal{O}(b + c)).$$