Olasılık / Kombinatorik

Question

Soru:

Bir kavanozda 6 siyah ve bilinmeyen bir numara ($\le6$) beyaz toplar. Üç top değiştirilmeden tek tek çekilir ve hepsi beyaz olarak bulunur. Bir sonraki çekilen topun siyah olma olasılığı nedir?

Aşağıdaki çözümü öneriyorum: Bayes teoremini kullanarak kavanozda r beyaz top olma olasılığını hesaplıyoruz . Yani bu:$$ f(r) = \frac{\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}}}{\sum_{r=3}^6\frac{{r}\choose{3}}{{6+r}\choose{3}} }$$f (r) bunların r beyaz top olma olasılığını belirtir. Şimdi, eğer onların r beyaz topları olsaydı , bir sonraki çekilişin siyah olma olasılığı$g(r) = \frac{6}{6 + (r-3)} = \frac{6}{3+r}$, çünkü zaten 3 beyaz top seçildi. Şimdi çekilen bir sonraki topun siyah olma olasılığını elde etmek için şu şekilde verilebilir:$$ \sum_{r=3}^6 f(r)\cdot g(r)$$

Bu yaklaşım doğru mu? Elde edilen cevap (bir python betiği kullanarak hesapladım) ondalık değerde seçeneklerden biriyle eşleşiyor ($\frac{677}{909})$0.744'e eşittir. Doğruysa, bu soruya yaklaşmanın daha zarif / daha az hesaplayıcı bir yolu olup olmadığını bilmek isterim. Teşekkürler!

Answer 1

Cevabınız ${\large{\frac{677}{909}}}$ önceki bir dağıtım olduğunu varsayarak doğru $r$ eşit derecede muhtemeldir $0,1,2,3,4,5,6$.

Böylece, varsayarsak, çizmeden önce $3$ toplar, her biri için $r\in\{0,1,2,3,4,5,6\}$, torbanın içerme olasılığı $r$ beyaz toplar ${\large{\frac{1}{7}}}$, bundan dolayı $r\in\{3,4,5,6\}$, işlev $$ f(r)=\frac { {\displaystyle{\frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}}}} } { \;\; {\displaystyle{ \sum_{r=3}^6 \frac{\binom{r}{3}}{\binom{6+r}{3}} }} \;\; } $$olan koşullu urn başlangıçta içerdiği olasılık$r$ beyaz toplar, ilk önce $3$ çizilmiş toplar beyazdı.

Analizinizin geri kalanı doğru.