Öldürme Önsezi formu

Question

Gerçek bir Lie cebiri verildiğinde $\mathfrak{g}$, Killing formu $K:\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathbb{R}$ olarak tanımlanır $K(X,Y)=tr(ad(X)\circ ad(Y))$. Bunu görselleştirmenin bir yolunu istiyorum.

Varsayalım $\mathfrak{g}$ bir Lie grubunun Lie cebiridir $G$. Sonra$Ad(x):\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$ eylem başlatıldı mı $\mathfrak{g}$ konjugasyondan $x \in G$. $ad(X)(Y)$ o zaman diferansiyeldir $Ad(e^{tX})$ -de $t = 0$, bu nedenle konjugasyonun yönü olarak düşünülebilir. $e^{tX}$ yönlendirir $Y$ küçük için doğru $t$. Bunlar bir nevi görselleştirebileceğim şeyler.

Verilen $X$,$Y$ teğet vektörler $G$ kimliğimde nasıl görselleştirebilirim $K(X,Y)$?

Answer 1

Killing formu ile ilgili önemli olan nokta, değişmezlik özellikleridir. Bunları görmek için @ Dietrich_Burde'un yorumunu takip edebilir ve matrisler hakkında düşünmeye başlayabilirsiniz. Hatırlayabileceğiniz gibi$M_n(\mathbb R)$ gibi $\mathbb R^{n^2}$standart iç çarpım şu şekilde yazılabilir: $\langle X,Y\rangle=tr(X^tY)$. Şimdi bakarsan$(X,Y):=tr(XY)$bunun yerine, pozitif kesinliği kaybedersiniz, ancak yine de dejenere olmayan bir bilineer form elde edersiniz. Ancak bu, herhangi bir ters çevrilebilir matris için çok daha hoş değişmezlik özelliklerine sahip olma avantajına sahiptir.$A$sen anladın $(AXA^{-1},AYA^{-1})=(X,Y)$. (İlgili mülk$\langle X,Y\rangle$ sadece üniter matrisler için tutar $A$Şimdi bu değişmezlik özelliği size bilineer formun $(\ ,\ )$ aslında sadece matrislerde değil, doğrusal haritalarda da iyi tanımlanmıştır, çünkü farklı matris gösterimleri eşlenimle ilişkilidir.

Şimdi soyut bir Lie cebirine geçerseniz $\mathfrak g$, bu matrislerden oluşmaz. Ancak, kanonik bir nesne haritaları olan birleşik temsil$\mathfrak g$ Doğrusal haritalardan oluşan bir Lie cebirine $L(\mathfrak g,\mathfrak g)$. Eğer$\mathfrak g$ önemsiz bir merkeze sahipse, o zaman bitişik temsil enjektedir ve böylece $\mathfrak g$Lineer haritaların bir Lie cebiri ile. Ve sonra izleme formunu geri çekip$\mathfrak g$bu izomorfizm yoluyla. Yapım gereği, sonuç güzel değişmezlik özelliklerine sahip olmalıdır ve eğer$\mathfrak g$ yarı basit, dejenere olmadığı ortaya çıkıyor.